Optimización de la producción de muebles

**a) Formular el correspondiente problema de programación lineal (0,75 puntos).** En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema, que son las cantidades de cada producto a fabricar: - $x$: número de mesas a fabricar. - $y$: número de estanterías a fabricar. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, cada mesa aporta 160 € y cada estantería 225 €. Por tanto, la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 160x + 225y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, las variables suelen representar las cantidades de productos, y la función objetivo aquello que queremos maximizar (beneficio) o minimizar (coste).

A continuación, establecemos las limitaciones o restricciones basadas en los recursos disponibles (madera y tiempo): 1. **Madera:** Se dispone de 150 m². Cada mesa usa 3 m² y cada estantería 4 m². $$3x + 4y \le 150$$ 2. **Mano de obra:** Se dispone de 90 horas. Cada mesa usa 1 hora y cada estantería 3 horas. $$x + 3y \le 90$$ 3. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas de muebles. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El problema de programación lineal queda formulado como: $$\text{Maximizar } f(x, y) = 160x + 225y$$ $$\text{Sujeto a: } \begin{cases} 3x + 4y \le 150 \\ x + 3y \le 90 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Formulación):** $$\boxed{\text{Maximizar } Z = 160x + 225y; \text{ s.a: } 3x+4y \le 150, x+3y \le 90, x,y \ge 0}$$

**b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. (1 punto)** Para representar la región factible, dibujamos las rectas correspondientes a las restricciones y determinamos el semiplano que cumple la desigualdad. - **Recta 1 ($r_1$):** $3x + 4y = 150$ - Si $x=0 \implies 4y=150 \implies y=37,5$. Punto $(0; 37,5)$ - Si $y=0 \implies 3x=150 \implies x=50$. Punto $(50, 0)$ - **Recta 2 ($r_2$):** $x + 3y = 90$ - Si $x=0 \implies 3y=90 \implies y=30$. Punto $(0, 30)$ - Si $y=0 \implies x=90$. Punto $(90, 0)$ La región factible es el polígono encerrado por estas rectas en el primer cuadrante. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir, prueba con el punto $(0,0)$. Si cumple la inecuación (como $0 \le 150$), la región es la que contiene al origen.

Los vértices de la región factible son las intersecciones de las rectas que la limitan: - **O (Origen):** $(0, 0)$ - **A (Intersección de $r_2$ con eje Y):** $(0, 30)$ - **B (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} 3x + 4y = 150 \\ x + 3y = 90 \end{cases}$$ Despejamos $x$ en la segunda: $x = 90 - 3y$. Sustituimos en la primera: $$3(90 - 3y) + 4y = 150 \implies 270 - 9y + 4y = 150 \implies -5y = -120 \implies y = 24$$ Sustituimos $y=24$ en $x = 90 - 3(24) = 90 - 72 = 18$. Punto **$B(18, 24)$**. - **C (Intersección de $r_1$ con eje X):** $(50, 0)$ ✅ **Vértices calculados:** $$\boxed{O(0, 0), A(0, 30), B(18, 24), C(50, 0)}$$

**c) ¿Cuántos muebles de cada tipo se deben fabricar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio? (0,75 puntos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 160x + 225y$ en cada uno de los vértices hallados: - $O(0, 0) \implies f(0, 0) = 160(0) + 225(0) = 0 \text{ €}$ - $A(0, 30) \implies f(0, 30) = 160(0) + 225(30) = 6750 \text{ €}$ - $B(18, 24) \implies f(18, 24) = 160(18) + 225(24) = 2880 + 5400 = 8280 \text{ €}$ - $C(50, 0) \implies f(50, 0) = 160(50) + 225(0) = 8000 \text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $B(18, 24)$. 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento entre ellos). ✅ **Solución final:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 18 mesas y 24 estanterías para un beneficio máximo de 8280 €}}$$