Participación en torneos de ajedrez

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas basándonos en los tipos de torneos que menciona el enunciado: - $x$: número de torneos locales. - $y$: número de torneos nacionales. - $z$: número de torneos internacionales. Ahora, traducimos la información del problema a ecuaciones matemáticas: 1. **Relación entre locales y nacionales:** "El número de torneos locales ha sido el doble de los nacionales". $$x = 2y \implies x - 2y = 0$$ 2. **Relación entre nacionales e internacionales:** "Por cada cinco torneos nacionales ha participado en dos internacionales". Esto indica una proporción: $$\frac{y}{z} = \frac{5}{2} \implies 2y = 5z \implies 2y - 5z = 0$$ 3. **Cálculo del total de torneos:** Se nos dice que 51 torneos (con premio) representan el 30% del total de torneos ($T$). $$0,30 \cdot T = 51 \implies T = \frac{51}{0,30} = 170$$ Como el total de torneos es la suma de los tres tipos: $$x + y + z = 170$$ 💡 **Tip:** Para plantear correctamente una proporción como la de los torneos nacionales e internacionales, recuerda que el producto de medios es igual al producto de extremos: si $\frac{y}{5} = \frac{z}{2}$, entonces $2y = 5z$.

Agrupamos las tres ecuaciones obtenidas para formar el sistema lineal: $$\begin{cases} x + y + z = 170 \\ x - 2y = 0 \\ 2y - 5z = 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 170 \\ x - 2y = 0 \\ 2y - 5z = 0 \end{cases}}$$

**b) ¿En cuántos torneos de cada clase ha participado esta jugadora? (1 punto)** Vamos a resolver el sistema utilizando el método de sustitución, ya que tenemos relaciones directas entre las variables en las dos últimas ecuaciones. De la segunda ecuación despejamos $x$: $$x = 2y$$ De la tercera ecuación despejamos $z$: $$5z = 2y \implies z = \frac{2y}{5} = 0,4y$$ Ahora sustituimos ambas expresiones en la primera ecuación ($x + y + z = 170$): $$2y + y + 0,4y = 170$$ Sumamos los términos en $y$: $$3,4y = 170$$ Despejamos $y$: $$y = \frac{170}{3,4} = 50$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto real donde las variables representan objetos o eventos indivisibles (como torneos), los resultados deben ser números enteros positivos. Si obtienes decimales extraños, revisa el planteamiento.

Una vez hallado el valor de $y = 50$, calculamos el resto de variables: - Para los torneos locales ($x$): $$x = 2y = 2 \cdot 50 = 100$$ - Para los torneos internacionales ($z$): $$z = 0,4y = 0,4 \cdot 50 = 20$$ **Comprobación:** Sumamos todos los torneos: $100 + 50 + 20 = 170$. Es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Ha participado en 100 torneos locales, 50 nacionales y 20 internacionales.}}$$