Probabilidad y Estadística 2024 Canarias
Probabilidad en la producción de gofio
A1. En un molino de gofio se elaboran gofios de trigo, de millo y de cinco cereales. El gofio de trigo supone un 40% de la producción, el gofio de millo un 32%, y el resto es de gofio de cinco cereales. A veces, algún paquete presenta un defecto que hace imposible su comercialización. Con el gofio de trigo ocurre en un 1,2% de los paquetes, con el de millo en un 0,9% y con el de cinco cereales en un 2,3%.
a) Elabora el árbol de probabilidades. (0,5 puntos)
b) Si se elige al azar un paquete de gofio, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? (1 punto)
c) Si presenta algún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea de gofio de millo? (1 punto)
Paso 1
Definición de sucesos y elaboración del árbol de probabilidades
**a) Elabora el árbol de probabilidades. (0,5 puntos)**
Primero, definimos los sucesos principales según el tipo de cereal:
- $T$: El paquete es de gofio de trigo.
- $M$: El paquete es de gofio de millo.
- $C$: El paquete es de gofio de cinco cereales.
Y los sucesos relativos a la calidad:
- $D$: El paquete presenta un defecto.
- $\bar{D}$: El paquete no presenta defectos.
Calculamos la probabilidad del gofio de cinco cereales, ya que el enunciado dice que es el resto:
$$P(C) = 1 - (P(T) + P(M)) = 1 - (0,40 + 0,32) = 1 - 0,72 = 0,28$$
Las probabilidades de defecto para cada tipo (probabilidades condicionadas) son:
- $P(D|T) = 1,2\% = 0,012 \implies P(\bar{D}|T) = 1 - 0,012 = 0,988$
- $P(D|M) = 0,9\% = 0,009 \implies P(\bar{D}|M) = 1 - 0,009 = 0,991$
- $P(D|C) = 2,3\% = 0,023 \implies P(\bar{D}|C) = 1 - 0,023 = 0,977$
Representamos estos datos en el **árbol de probabilidades**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que no tenga defectos
**b) Si se elige al azar un paquete de gofio, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? (1 punto)**
Para calcular la probabilidad de que un paquete no tenga defectos $P(\bar{D})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de no tener defectos en cada uno de los tres tipos de gofio:
$$P(\bar{D}) = P(T) \cdot P(\bar{D}|T) + P(M) \cdot P(\bar{D}|M) + P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(\bar{D}) = (0,40 \cdot 0,988) + (0,32 \cdot 0,991) + (0,28 \cdot 0,977)$$
Realizamos las operaciones intermedias:
- $P(T \cap \bar{D}) = 0,3952$
- $P(M \cap \bar{D}) = 0,31712$
- $P(C \cap \bar{D}) = 0,27356$
Sumamos los resultados:
$$P(\bar{D}) = 0,3952 + 0,31712 + 0,27356 = 0,98588$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (no tener defectos) puede ocurrir a través de varias ramas o categorías excluyentes (Trigo, Millo o Cinco Cereales).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}) = 0,98588}$$
(También se puede expresar como $98,588\%$).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**c) Si presenta algún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea de gofio de millo? (1 punto)**
Se nos pide la probabilidad de que el paquete sea de millo sabiendo que tiene un defecto, es decir, $P(M|D)$. Utilizaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(M|D) = \frac{P(M \cap D)}{P(D)} = \frac{P(M) \cdot P(D|M)}{P(D)}$$
Primero, calculamos $P(D)$, que es el suceso contrario a no tener defectos:
$$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0,98588 = 0,01412$$
Ahora calculamos el numerador $P(M \cap D)$:
$$P(M \cap D) = 0,32 \cdot 0,009 = 0,00288$$
Sustituimos en la fórmula de Bayes:
$$P(M|D) = \frac{0,00288}{0,01412} \approx 0,203966...$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ es la probabilidad de que ocurra $A$ dado que ya sabemos que ha ocurrido $B$. Es una probabilidad "a posteriori".
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|D) \approx 0,2040}$$
(Aproximando a cuatro decimales).