Distribución normal de los precios de alquiler

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que alquilar uno de estos pisos cueste cada mes, a lo sumo, 700 euros? (0,75 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el precio del alquiler mensual de un piso. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu = 725, \sigma = 50)$$ Nos piden calcular la probabilidad de que el precio sea, como mucho, 700 euros, es decir, $P(X \le 700)$. Para poder usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$, debemos realizar el proceso de **tipificación** utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores: $$P(X \le 700) = P\left(Z \le \frac{700 - 725}{50}\right) = P\left(Z \le \frac{-25}{50}\right) = P(Z \le -0,5)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la tipificación nos permite transformar cualquier normal en la normal estándar $Z$, lo cual es necesario para buscar los valores en la tabla.

Como las tablas de la normal estándar suelen mostrar solo valores positivos de $z$, aplicamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -0,5) = P(Z \ge 0,5)$$ Y por la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \ge 0,5) = 1 - P(Z \le 0,5)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 0,50$: $$P(Z \le 0,5) = 0,6915$$ Calculamos la probabilidad final: $$P(X \le 700) = 1 - 0,6915 = 0,3085$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 700) = 0,3085}$$

**b) En un determinado mes, una agencia inmobiliaria alquila 25 de los pisos anteriormente mencionados. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio de alquiler mensual supere los 730 euros? (0,75 puntos)** Cuando trabajamos con una muestra de tamaño $n$, la media de la muestra $\bar{X}$ sigue una distribución normal relacionada con la de la población original: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Datos de la muestra: - Media poblacional: $\mu = 725$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 50$ - Tamaño de la muestra: $n = 25$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{50}{\sqrt{25}} = \frac{50}{50} = 10$$ Por tanto, la distribución del precio medio es: $$\bar{X} \sim N(725, 10)$$ 💡 **Tip:** No confundas la desviación típica de un individuo con la de la media de una muestra; la de la muestra es siempre más pequeña.

Nos piden la probabilidad de que el precio medio supere los 730 euros: $P(\bar{X} \gt 730)$. Tipificamos con los parámetros de la media muestral: $$P(\bar{X} \gt 730) = P\left(Z \gt \frac{730 - 725}{10}\right) = P\left(Z \gt \frac{5}{10}\right) = P(Z \gt 0,5)$$ Usamos de nuevo el complementario: $$P(Z \gt 0,5) = 1 - P(Z \le 0,5)$$ Buscamos en la tabla (valor ya obtenido en el apartado anterior): $$P(Z \le 0,5) = 0,6915$$ $$1 - 0,6915 = 0,3085$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 730) = 0,3085}$$

**c) De los 25 pisos alquilados por la agencia en ese mes, ¿cuántos se puede esperar que cuesten menos de 710 euros cada mes? (1 punto)** Primero debemos calcular la probabilidad de que un piso individual cueste menos de 710 euros, es decir, $p = P(X \lt 710)$. Tipificamos con la distribución original $X \sim N(725, 50)$: $$P(X \lt 710) = P\left(Z \lt \frac{710 - 725}{50}\right) = P\left(Z \lt \frac{-15}{50}\right) = P(Z \lt -0,3)$$ Por simetría y complementario: $$P(Z \lt -0,3) = P(Z \gt 0,3) = 1 - P(Z \le 0,3)$$ Buscamos en la tabla $z = 0,30$: $$P(Z \le 0,3) = 0,6179$$ Calculamos $p$: $$p = 1 - 0,6179 = 0,3821$$

Para saber cuántos pisos se "espera" que cumplan la condición en una muestra de $n = 25$, estamos ante el cálculo de la esperanza de una distribución binomial $B(n, p)$. La fórmula de la esperanza (número esperado) es: $$E = n \cdot p$$ Sustituimos nuestros valores: $$E = 25 \cdot 0,3821 = 9,5525$$ Como estamos hablando de una cantidad esperada en términos estadísticos, mantenemos los decimales, aunque en la práctica se traduzca en una media de aproximadamente 9 o 10 pisos. 💡 **Tip:** El término "cuántos se puede esperar" siempre hace referencia al valor esperado o esperanza matemática ($n \cdot p$) de una binomial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{9,5525 \text{ pisos}}$$