Distribución normal y media muestral en movilidad

**a) Se elige un coche al azar ¿cuál es la probabilidad de que en un mes recorra más de 1000 km? (0,75 puntos)** Primero definimos la variable aleatoria que describe el problema: $X =$ "distancia recorrida cada mes por un coche (km)". El enunciado nos indica que esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(1200, 230)$$ Se nos pide calcular la probabilidad de que un coche recorra más de $1000$ km, es decir: $P(X \gt 1000)$. Para resolverlo, debemos **tipificar** la variable para poder usar la tabla de la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite transformar cualquier normal en una estándar $N(0, 1)$ para buscar los valores en las tablas estadísticas.

Aplicamos la tipificación al valor $1000$: $$P(X \gt 1000) = P\left(Z \gt \frac{1000 - 1200}{230}\right) = P\left(Z \gt \frac{-200}{230}\right) \approx P(Z \gt -0.87)$$ Por las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \gt -0.87) = P(Z \lt 0.87)$$ Buscamos el valor $0.87$ en la tabla de la normal estándar: - En la fila $0.8$ y columna $0.07$, encontramos $0.8078$. $$P(Z \lt 0.87) = 0.8078$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 1000) = 0.8078}$$

**b) Si se toma una muestra de 36 coches, ¿cuál es la probabilidad de que en un mes la distancia media recorrida por estos coches esté entre 1150 y 1250 km? (1 punto)** Cuando trabajamos con una muestra de tamaño $n$, la **media muestral** (que llamaremos $\bar{X}$) también sigue una distribución normal, pero con una desviación típica menor (el error típico): $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Datos del problema: - $\mu = 1200$ - $\sigma = 230$ - $n = 36$ Calculamos la nueva desviación típica: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{230}{\sqrt{36}} = \frac{230}{6} \approx 38.33$$ Por tanto: $\bar{X} \sim N(1200, 38.33)$

Queremos calcular $P(1150 \lt \bar{X} \lt 1250)$. Tipificamos ambos valores usando $\sigma_{\bar{x}} = 38.33$: $$Z_1 = \frac{1150 - 1200}{38.33} = \frac{-50}{38.33} \approx -1.30$$ $$Z_2 = \frac{1250 - 1200}{38.33} = \frac{50}{38.33} \approx 1.30$$ Entonces: $$P(1150 \lt \bar{X} \lt 1250) = P(-1.30 \lt Z \lt 1.30)$$ $$= P(Z \lt 1.30) - P(Z \lt -1.30)$$ $$= P(Z \lt 1.30) - [1 - P(Z \lt 1.30)] = 2 \cdot P(Z \lt 1.30) - 1$$ Buscamos $1.30$ en la tabla: $P(Z \lt 1.30) = 0.9032$ Sustituimos: $$2 \cdot 0.9032 - 1 = 1.8064 - 1 = 0.8064$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(1150 \lt \bar{X} \lt 1250) = 0.8064}$$

**c) En esa muestra, ¿cuál el número esperado de coches que recorrerán más de 1300 km? (0,75 puntos)** Primero debemos hallar la probabilidad de que **un coche** cualquiera de la muestra recorra más de $1300$ km. Usamos de nuevo la distribución individual $X \sim N(1200, 230)$: $$P(X \gt 1300) = P\left(Z \gt \frac{1300 - 1200}{230}\right) = P\left(Z \gt \frac{100}{230}\right) \approx P(Z \gt 0.43)$$ Por la probabilidad del complementario: $$P(Z \gt 0.43) = 1 - P(Z \lt 0.43)$$ Buscamos $0.43$ en la tabla: $P(Z \lt 0.43) = 0.6664$ $$p = 1 - 0.6664 = 0.3336$$

Para hallar el número esperado de coches en una muestra de $n=36$, usamos la fórmula de la esperanza matemática de una distribución binomial $B(n, p)$: $$E = n \cdot p$$ Donde: - $n = 36$ (número de coches en la muestra) - $p = 0.3336$ (probabilidad de que un coche supere los 1300 km) $$E = 36 \cdot 0.3336 = 12.0096$$ 💡 **Tip:** El número esperado es el promedio de éxitos que tendríamos si repitiéramos el experimento muchas veces. No tiene por qué ser un número entero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Número esperado } \approx 12.01 \text{ coches}}$$