Estudio de rentabilidad de un fondo inmobiliario

**a) ¿Es continua la función de rentabilidad? Justifica la respuesta. (0,75 puntos)** La función $R(t)$ está definida en dos ramas. Ambas ramas son funciones continuas en sus respectivos dominios (un polinomio y una función racional cuyo denominador $5t+3$ solo se anula en $t = -3/5$, que está fuera del dominio $t \gt 4$). El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el salto entre ramas, en $t = 4$. Para que sea continua en $t = 4$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** $$R(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 3(4) + 1 = -8 + 12 + 1 = 5$$ 2. **Límite por la izquierda ($t \to 4^-$):** $$\lim_{t \to 4^-} R(t) = \lim_{t \to 4} \left( -\frac{1}{2}t^2 + 3t + 1 \right) = 5$$ 3. **Límite por la derecha ($t \to 4^+$):** $$\lim_{t \to 4^+} R(t) = \lim_{t \to 4} \frac{t+111}{5t+3} = \frac{4+111}{5(4)+3} = \frac{115}{23} = 5$$ Como $R(4) = \lim_{t \to 4^-} R(t) = \lim_{t \to 4^+} R(t) = 5$, la función es **continua en $t = 4$**. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si es continua en cada tramo y los límites laterales coinciden en los puntos de separación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua para todo } t \ge 0}$$

**b) ¿Cuándo crece y cuando decrece esta función? Justifica la respuesta. ¿Para qué valor de $t$ se alcanza la rentabilidad máxima? ¿Cuánto vale dicha rentabilidad? Representa gráficamente la función. (1,25 puntos)** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $R'(t)$ en cada tramo: - Para $0 \lt t \lt 4$: $$R'(t) = -t + 3$$ Igualamos a cero: $-t + 3 = 0 \implies t = 3$. - Para $t \gt 4$: Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$R'(t) = \frac{1 \cdot (5t+3) - (t+111) \cdot 5}{(5t+3)^2} = \frac{5t+3 - 5t - 555}{(5t+3)^2} = \frac{-552}{(5t+3)^2}$$ Como el numerador es negativo y el denominador siempre es positivo, $R'(t) \lt 0$ para todo $t \gt 4$. **Tabla de signos de $R'(t)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,3) & 3 & (3,4) & 4 & (4, +\infty) \\\hline R'(t) & + & 0 & - & \text{No def.} & - \\\hline R(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Cont.} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $R'(t) \gt 0$ la función crece; si $R'(t) \lt 0$ decrece. El cambio de signo de $+$ a $-$ indica un máximo relativo. ✅ **Intervalos:** $$\boxed{\text{Crece en } (0, 3) \text{ y decrece en } (3, +\infty)}$$

A partir del estudio de la monotonía, observamos que el máximo absoluto se alcanza en **$t = 3$** años. Calculamos el valor de la rentabilidad máxima sustituyendo en la función: $$R(3) = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) + 1 = -4,5 + 9 + 1 = 5,5$$ Para la representación gráfica, tenemos en cuenta: 1. Punto inicial: $R(0) = 1$. 2. Máximo: $(3, 5.5)$. 3. Punto de unión: $(4, 5)$. 4. Comportamiento a largo plazo: $\lim_{t \to +\infty} \frac{t+111}{5t+3} = \frac{1}{5} = 0,2$. Existe una asíntota horizontal en $y = 0,2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } t=3 \text{ con } R(3)=5,5\%}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "R(t) = \\{0 \\le t \\le 4: -0.5t^2 + 3t + 1, t > 4: (t+111)/(5t+3)\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(3, 5.5)", "showLabel": true, "label": "Máximo (3, 5.5)", "color": "#ef4444" }, { "id": "asintota", "latex": "y = 0.2", "lineStyle": "DASHED", "color": "#16a34a" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 30, "bottom": -1, "top": 7 } } }

**c) El fondo de inversión garantiza que, para tiempos superiores a 25 años, la inversión siempre tendrá un retorno superior al 0,2%. ¿Es cierta la afirmación del fondo? Justifica la respuesta. (0,5 puntos)** Debemos analizar el comportamiento de $R(t)$ cuando $t \gt 25$. En este tramo, la función es $R(t) = \frac{t+111}{5t+3}$. Comprobamos el límite cuando el tiempo tiende a infinito: $$\lim_{t \to +\infty} R(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{t+111}{5t+3} = \frac{1}{5} = 0,2$$ Como hemos visto en el apartado b), la función es estrictamente decreciente para todo $t \gt 3$. Esto significa que la función se aproxima al valor $0,2$ desde valores superiores, pero **nunca llega a ser menor o igual a 0,2** (ya que la asíntota horizontal es el límite inferior). Podemos comprobarlo con una desigualdad para $t \gt 4$: $$\frac{t+111}{5t+3} \gt 0,2 \iff \frac{t+111}{5t+3} \gt \frac{1}{5}$$ $$5(t+111) \gt 1(5t+3)$$ $$5t + 555 \gt 5t + 3 \iff 555 \gt 3$$ Como la desigualdad $555 \gt 3$ es siempre cierta, la rentabilidad siempre será superior al $0,2\%$ para cualquier $t \gt 4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es CIERTA}}$$