Superficie de una finca y cálculo de ayudas de la UE

**a) Representa la superficie de la finca. (0,75 puntos)** Para representar la superficie limitada por las dos funciones, primero debemos encontrar los puntos donde se cortan. Igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies (x - 2)^2 = -x + 4$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado: $$x^2 - 4x + 4 = -x + 4$$ Simplificamos la ecuación: $$x^2 - 3x = 0$$ Factorizamos para hallar las soluciones: $$x(x - 3) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 3$$ Los puntos de corte son $(0, 4)$ y $(3, 1)$. 💡 **Tip:** Para encontrar los puntos de corte de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, siempre debemos resolver la ecuación $f(x) = g(x)$.

Con los puntos de corte y conociendo la naturaleza de las funciones representamos la región: - $f(x) = (x - 2)^2$ es una parábola con vértice en $(2, 0)$ que abre hacia arriba. - $g(x) = -x + 4$ es una recta con pendiente negativa que pasa por $(0, 4)$ y $(4, 0)$. La región encerrada se encuentra entre $x = 0$ y $x = 3$. ✅ **Representación de la superficie:**

**b) Calcula el área. (1 punto)** El área de la región limitada por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo" entre los límites de corte calculados anteriormente ($x=0$ y $x=3$). Observando la gráfica, la recta $g(x)$ está por encima de la pará $f(x)$ en el intervalo $[0, 3]$. $$A = \int_{0}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{0}^{3} [-x + 4 - (x^2 - 4x + 4)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx$$ Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3}$$ Evaluamos en los límites: $$A = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right)$$ $$A = \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - 0 = -9 + 13.5 = 4.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un resultado negativo, es probable que hayas intercambiado el orden de las funciones en la resta. ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = 4.5 \text{ hectáreas}}$$

**c) Si la finca produce anualmente 45000 kg de plátanos por hectárea y la Unión Europea aporta una ayuda de 0,33 euros por kilo producido ¿Cuál sería el importe a recibir cada año en ayudas de la UE, sabiendo que aproximadamente el 1,5% de la producción se desecha antes de recibir las ayudas? (0,75 puntos)** Primero, calculamos la producción total bruta de la finca: $$\text{Producción total} = 4.5 \text{ ha} \times 45000 \text{ kg/ha} = 202500 \text{ kg}$$ Segundo, calculamos la producción útil (restando el 1.5% que se desecha). Si se desecha el 1.5%, se aprovecha el $100\% - 1.5\% = 98.5\%$: $$\text{Producción útil} = 202500 \times 0.985 = 199462.5 \text{ kg}$$ Finalmente, calculamos el importe multiplicando los kilos útiles por la ayuda por kilo: $$\text{Importe ayudas} = 199462.5 \text{ kg} \times 0.33 \text{ €/kg} = 65822.625 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Para aplicar un descuento porcentual del $r\%$, multiplicamos por $(1 - r/100)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Importe anual} = 65822.63 \text{ euros}}$$