Álgebra 2024 Canarias
Ventas en una tienda de electrónica
A4. En una tienda de electrónica, se venden teléfonos móviles, tablets y ordenadores portátiles. El precio de un teléfono móvil es de 300 €, el precio de una tablet es de 400 € y el precio de un ordenador portátil es de 800 €. En una semana, se ha ingresado un total de 28000 € en ventas de estos aparatos. El número de teléfonos móviles vendidos ha sido el doble del número de tablets vendidas, y por cada dos tablets se ha vendido un ordenador portátil.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)
b) ¿Cuántos dispositivos de cada tipo se vendieron en la tienda? (1 punto)
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)**
En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos calcular:
- $x$: número de teléfonos móviles vendidos.
- $y$: número de tablets vendidas.
- $z$: número de ordenadores portátiles vendidos.
Ahora, traducimos la información del enunciado a ecuaciones matemáticas:
1. **Ingresos totales:** Si cada móvil cuesta $300\ €$, cada tablet $400\ €$ y cada portátil $800\ €$, y el total es $28000\ €$:
$$300x + 400y + 800z = 28000$$
Simplificando (dividiendo entre 100):
$$3x + 4y + 8z = 280$$
2. **Relación móviles-tablets:** El número de móviles ($x$) es el doble del de tablets ($y$):
$$x = 2y \implies x - 2y = 0$$
3. **Relación tablets-ordenadores:** Por cada dos tablets se vende un ordenador portátil. Esto significa que el número de tablets es el doble que el de ordenadores (o que el de ordenadores es la mitad que el de tablets):
$$y = 2z \implies y - 2z = 0$$
💡 **Tip:** Al traducir relaciones como "el doble de", asegúrate de colocar el factor multiplicativo en el lado correcto. Si hay más móviles que tablets ($x > y$), entonces $x = 2y$ es correcto.
El sistema resultante es:
$$\boxed{\begin{cases} 3x + 4y + 8z = 280 \\ x - 2y = 0 \\ y - 2z = 0 \end{cases}}$$
Paso 2
Resolución del sistema mediante sustitución
**b) ¿Cuántos dispositivos de cada tipo se vendieron en la tienda? (1 punto)**
Dado que tenemos relaciones directas entre las variables en las dos últimas ecuaciones, el método de **sustitución** es el más rápido.
De la segunda ecuación tenemos:
$$x = 2y$$
De la tercera ecuación despejamos $z$ en función de $y$:
$$z = \frac{y}{2}$$
Ahora sustituimos ambas expresiones en la primera ecuación simplificada:
$$3(2y) + 4y + 8\left(\frac{y}{2}\right) = 280$$
Operamos paso a paso:
$$6y + 4y + 4y = 280$$
$$14y = 280$$
$$y = \frac{280}{14} = 20$$
💡 **Tip:** Antes de resolver, siempre es recomendable simplificar las ecuaciones (como dividir entre 100 en la primera) para trabajar con números más manejables.
Paso 3
Cálculo de las variables restantes y solución final
Una vez hallado el valor de $y$, calculamos $x$ y $z$ sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente:
Para los **teléfonos móviles** ($x$):
$$x = 2y = 2(20) = 40$$
Para los **ordenadores portátiles** ($z$):
$$z = \frac{y}{2} = \frac{20}{2} = 10$$
Comprobamos que los resultados tienen sentido:
- Ingresos: $40(300) + 20(400) + 10(800) = 12000 + 8000 + 8000 = 28000\ €$. (Correcto)
- Móviles es el doble de tablets: $40 = 2 \cdot 20$. (Correcto)
- Cada 2 tablets hay 1 portátil: $20 / 2 = 10$. (Correcto)
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se vendieron 40 móviles, 20 tablets y 10 ordenadores portátiles}}$$