Problema de programación lineal: optimización de lotes de fruta y verdura

**a) Plantear el correspondiente problema de programación lineal. (0,75 puntos)** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan lo que queremos calcular: - $x$: número de lotes vendidos del tipo A. - $y$: número de lotes vendidos del tipo B. El objetivo es maximizar la recaudación total. Según los precios dados (18€ para el lote A y 20€ para el lote B), la función objetivo será: $$f(x, y) = 18x + 20y$$ 💡 **Tip:** Siempre comienza identificando qué representan $x$ e $y$ y cuál es el valor que queremos hacer máximo o mínimo (función objetivo).

A continuación, traducimos las limitaciones del problema en inecuaciones: 1. **Restricción de frutas:** Cada lote A gasta 2 kg y cada lote B gasta 3 kg. No podemos superar los 1500 kg disponibles: $$2x + 3y \le 1500$$ 2. **Restricción de verduras:** Cada lote A gasta 3 kg y cada lote B gasta 3 kg. No podemos superar los 1755 kg disponibles: $$3x + 3y \le 1755 \implies x + y \le 585$$ 3. **Mínimo de ventas Lote A:** Se deben vender al menos 150 lotes: $$x \ge 150$$ 4. **Mínimo de ventas Lote B:** Se deben vender al menos 180 lotes: $$y \ge 180$$ Además, por la naturaleza del problema, $x, y \ge 0$, aunque estas ya están implícitas en las restricciones de ventas mínimas. ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & f(x, y) = 18x + 20y \\ \text{Sujeto a: } & 2x + 3y \le 1500 \\ & x + y \le 585 \\ & x \ge 150 \\ & y \ge 180 \end{aligned}}$$

**b) Dibujar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. (1 punto)** Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el área común que cumple todas las inecuaciones: - $r_1: 2x + 3y = 1500$ (Pasa por $(0, 500)$ y $(750, 0)$) - $r_2: x + y = 585$ (Pasa por $(0, 585)$ y $(585, 0)$) - $r_3: x = 150$ (Recta vertical) - $r_4: y = 180$ (Recta horizontal) La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.

Los vértices se calculan resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: 1. **Vértice A:** Corte de $x=150$ e $y=180$. $A = (150, 180)$ 2. **Vértice B:** Corte de $y=180$ con $x+y=585$. $x + 180 = 585 \implies x = 405$. $B = (405, 180)$ 3. **Vértice C:** Corte de $x+y=585$ con $2x+3y=1500$. Multiplicamos la primera por $-2$: $-2x - 2y = -1170$ $2x + 3y = 1500$ Sumando: $y = 330$. Sustituimos: $x + 330 = 585 \implies x = 255$. $C = (255, 330)$ 4. **Vértice D:** Corte de $x=150$ con $2x+3y=1500$. $2(150) + 3y = 1500 \implies 300 + 3y = 1500 \implies 3y = 1200 \implies y = 400$. $D = (150, 400)$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(150, 180), \, B(405, 180), \, C(255, 330), \, D(150, 400)}$$

**c) Para maximizar la recaudación, ¿cuántos lotes se han de vender de cada tipo? ¿Cuál sería la recaudación máxima? (0,75 puntos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 18x + 20y$ en cada uno de los vértices: - $f(A) = f(150, 180) = 18(150) + 20(180) = 2700 + 3600 = 6300 \text{ €}$ - $f(B) = f(405, 180) = 18(405) + 20(180) = 7290 + 3600 = 10890 \text{ €}$ - $f(C) = f(255, 330) = 18(255) + 20(330) = 4590 + 6600 = 11190 \text{ €}$ - $f(D) = f(150, 400) = 18(150) + 20(400) = 2700 + 8000 = 10700 \text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el vértice $C(255, 330)$. 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el máximo de una función lineal sobre un recinto convexo se encuentra en uno de sus vértices. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben vender 255 lotes A y 330 lotes B. Recaudación máxima: 11.190 €}}$$