Ecuaciones matriciales y potencias de matrices

**a) Determine los valores de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ para los que se verifica: $M \cdot N = 2N$ y $(N^t \cdot M)^t + M \cdot P = N$** Empezamos calculando el producto $M \cdot N$ e igualándolo a $2N$: $$M \cdot N = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + 2b \\ -c + 2 \end{pmatrix}$$ Como $2N = 2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$, igualamos componente a componente: 1) $-a + 2b = -2$ 2) $-c + 2 = 4 \implies -c = 2 \implies \mathbf{c = -2}$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices, recuerda la regla de "fila por columna". Una matriz $(2 \times 2)$ por una $(2 \times 1)$ da como resultado una matriz $(2 \times 1)$.

Para la segunda condición $(N^t \cdot M)^t + M \cdot P = N$, simplificamos primero el término traspuesto usando la propiedad $(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t$: $$(N^t \cdot M)^t = M^t \cdot (N^t)^t = M^t \cdot N$$ Ahora calculamos $M^t \cdot N$ y $M \cdot P$: $$M^t \cdot N = \begin{pmatrix} a & c \\ b & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + 2c \\ -b + 2 \end{pmatrix}$$ $$M \cdot P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a - 3b \\ -c - 3 \end{pmatrix}$$ Sumamos ambos resultados e igualamos a $N$: $$\begin{pmatrix} -a + 2c \\ -b + 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a - 3b \\ -c - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a - 3b + 2c \\ -b - c - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La propiedad de la traspuesta de un producto invierte el orden de las matrices: $(A B)^t = B^t A^t$.

De las igualdades anteriores y sabiendo que $c = -2$, obtenemos el siguiente sistema: 3) $-b - (-2) - 1 = 2 \implies -b + 1 = 2 \implies -b = 1 \implies \mathbf{b = -1}$ 4) $-2a - 3b + 2c = -1$ Sustituimos $b = -1$ y $c = -2$ en la ecuación 4): $$-2a - 3(-1) + 2(-2) = -1 \implies -2a + 3 - 4 = -1$$ $$-2a - 1 = -1 \implies -2a = 0 \implies \mathbf{a = 0}$$ Finalmente, comprobamos si estos valores cumplen la ecuación 1) del paso 1: $-0 + 2(-1) = -2$, lo cual es correcto. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{a = 0, \quad b = -1, \quad c = -2}$$

**b) Para $a = 0, b = -1$ y $c = -2$. Compruebe que $M^2 = M + 2I$, donde $I$ denota la matriz identidad de tamaño $2 \times 2$, y utilice dicha igualdad para calcular $M^{-1}$ y $M^3$.** Con los valores obtenidos, la matriz es $M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Calculamos $M^2$: $$M^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+2 & 0-1 \\ 0-2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos $M + 2I$: $$M + 2I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ Como ambos resultados coinciden, queda comprobado que **$M^2 = M + 2I$**.

Para hallar $M^{-1}$ usamos la igualdad $M^2 = M + 2I$. Despejamos la identidad $I$: $$M^2 - M = 2I$$ Sacamos factor común la matriz $M$ por la izquierda: $$M(M - I) = 2I$$ Multiplicamos por $1/2$ en ambos lados: $$M \left[ \frac{1}{2}(M - I) \right] = I$$ Por la definición de matriz inversa ($M \cdot M^{-1} = I$), tenemos: $$M^{-1} = \frac{1}{2}(M - I) = \frac{1}{2} \left[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right]$$ $$M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si una igualdad relaciona potencias de $M$ con la identidad $I$, puedes despejar $I$ y factorizar $M$ para encontrar la inversa sin usar determinantes. ✅ **Resultado $M^{-1}$:** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $M^3$, multiplicamos la igualdad original $M^2 = M + 2I$ por $M$: $$M \cdot M^2 = M \cdot (M + 2I) \implies M^3 = M^2 + 2M$$ Como sabemos que $M^2 = M + 2I$, sustituimos: $$M^3 = (M + 2I) + 2M = 3M + 2I$$ Sustituimos los valores de $M$ e $I$: $$M^3 = 3 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$M^3 = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado $M^3$:** $$\boxed{M^3 = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}}$$