Integrales con parámetros y estudio de continuidad/derivabilidad

**a) Encuentre el valor del parámetro real $a$ tal que $\int_0^1 (\sqrt{x} - a) dx = \frac{2}{3}$** En primer lugar, vamos a calcular la integral indefinida de la función. Para ello, recordamos que $\sqrt{x}$ se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. $$\int (\sqrt{x} - a) dx = \int (x^{1/2} - a) dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - ax = \frac{x^{3/2}}{3/2} - ax = \frac{2}{3}x^{3/2} - ax$$ Expresándolo de nuevo en forma de raíz: $$F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - ax$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla básica de integración para potencias: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral entre los límites $0$ y $1$: $$\int_0^1 (\sqrt{x} - a) dx = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - ax \right]_0^1$$ Sustituimos el límite superior ($1$) y restamos la sustitución del límite inferior ($0$): $$\left( \frac{2}{3}(1)\sqrt{1} - a(1) \right) - \left( \frac{2}{3}(0)\sqrt{0} - a(0) \right) = \frac{2}{3} - a$$ El enunciado nos indica que el valor de esta integral debe ser igual a $\frac{2}{3}$: $$\frac{2}{3} - a = \frac{2}{3}$$ Despejamos el parámetro $a$: $$-a = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \implies -a = 0 \implies a = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 0}$$

**b) Determine para qué valores del parámetro $b \in \mathbb{R}$ se tiene que $f(x)$ es una función continua en su dominio. Estudie la derivabilidad de la función para esos valores del parámetro $b$.** La función es continua en los intervalos $(-\infty, 0)$ y $(0, +\infty)$ por ser funciones polinómicas. El único punto donde podría haber una discontinuidad (salto entre ramas) es en el valor de corte $x = 0$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función:** $f(0) = 3(0) + 2 = 2$ 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 - b) = 0^2 - b = -b$ 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x + 2) = 2$ Para que sea continua: $$-b = 2 \implies b = -2$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{b = -2}$$

Para $b = -2$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 0 \\ 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Para estudiar la derivabilidad en $x = 0$, calculamos las derivadas laterales: - **Derivada por la izquierda:** $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x) = 2(0) = 0$ - **Derivada por la derecha:** $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (3) = 3$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$ ($0 \neq 3$), la función **no es derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y luego sus derivadas laterales deben ser iguales. ✅ **Resultado (derivabilidad):** $$\boxed{\text{La función es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\} \text{ para } b = -2. \text{ En } x=0 \text{ no es derivable.}}$$