Cálculo de parámetros en funciones y estudio de la monotonía

**a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ pase por los puntos $(1, 3)$ y $(2, 7/2)$. Escriba la expresión de la función $f(x)$.** Para hallar $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left( \frac{-1}{x^2} + a \right) dx$$ Expresamos el primer término como una potencia para facilitar la integración: $\frac{-1}{x^2} = -x^{-2}$. $$f(x) = \int (-x^{-2} + a) \, dx = - \frac{x^{-1}}{-1} + ax + C = \frac{1}{x} + ax + C$$ Donde $C$ es la constante de integración. 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una potencia es $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (para $n \neq -1$). En este caso, $\int -x^{-2} \, dx = -\frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}$.

La función $f(x) = \frac{1}{x} + ax + C$ debe pasar por los puntos $(1, 3)$ y $(2, 7/2)$. Esto nos da dos condiciones: 1. **Para el punto $(1, 3)$:** $f(1) = 3$ $$\frac{1}{1} + a(1) + C = 3 \implies 1 + a + C = 3 \implies a + C = 2$$ 2. **Para el punto $(2, 7/2)$:** $f(2) = 7/2$ $$\frac{1}{2} + a(2) + C = \frac{7}{2} \implies 0.5 + 2a + C = 3.5 \implies 2a + C = 3$$ Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} a + C = 2 \\ 2a + C = 3 \end{cases}$$

Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $C$: $$(2a + C) - (a + C) = 3 - 2 \implies a = 1$$ Sustituimos $a = 1$ en la primera ecuación: $$1 + C = 2 \implies C = 1$$ Por tanto, el valor del parámetro es $a = 1$ y la expresión de la función es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1; \quad f(x) = \frac{1}{x} + x + 1}$$

**b) Para $a = 1$, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.** Con $a = 1$, la derivada es $f'(x) = \frac{-1}{x^2} + 1$. Primero, identificamos el dominio de la función. Como hay una $x$ en el denominador, $x \neq 0$. El dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$\frac{-1}{x^2} + 1 = 0 \implies 1 = \frac{1}{x^2} \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Los intervalos de monotonía pueden cambiar en los puntos donde la derivada es cero o en los puntos donde la función no está definida (asíntotas verticales).

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ en los intervalos definidos por los puntos críticos ($x = -1, x = 1$) y la discontinuidad ($x = 0$). Como el denominador $x^2$ siempre es positivo (para $x \neq 0$), el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $x^2 - 1$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Intervalos de crecimiento (donde $f'(x) > 0$): **$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$** Intervalos de decrecimiento (donde $f'(x) < 0$): **$(-1, 0) \cup (0, 1)$**

Basándonos en el cambio de signo de la derivada: 1. **En $x = -1$:** La función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. $$f(-1) = \frac{1}{-1} + (-1) + 1 = -1 \implies \text{Punto } (-1, -1)$$ 2. **En $x = 1$:** La función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. $$f(1) = \frac{1}{1} + 1 + 1 = 3 \implies \text{Punto } (1, 3)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \\ \text{Decrecimiento: } (-1, 0) \cup (0, 1) \\ \text{Máximo relativo en } (-1, -1) \\ \text{Mínimo relativo en } (1, 3) \end{matrix}}$$