Estudio de asíntotas y recta tangente

**a) Determine las asíntotas de esta función.** Primero, identificamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$$ Por tanto, $Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. Las asíntotas verticales suelen encontrarse en estos puntos. Calculamos los límites en $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = \frac{2^2 + 4}{2^2 - 4} = \frac{8}{0} = \infty.$$ Calculamos los límites en $x = -2$: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = \frac{(-2)^2 + 4}{(-2)^2 - 4} = \frac{8}{0} = \infty.$$ Como el límite en ambos puntos es infinito, existen asíntotas verticales en dichas abscisas. 💡 **Tip:** Una recta $x = a$ es una asíntota vertical si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = 2, \quad x = -2}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$$ Como los grados del numerador y del denominador son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = \frac{1}{1} = 1.$$ Esto indica que existe una asíntota horizontal en $y = 1$ tanto para $+\infty$ como para $-\infty$. Dado que existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al del denominador, hay una AH en el cociente de los coeficientes principales. Si el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador, habría una AO. ✅ **Resultado (Asíntotas Horizontales):** $$\boxed{y = 1}$$ ✅ **Resultado (Asíntotas Oblicuas):** $$\boxed{\text{No tiene}}$$

**b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$, primero calculamos el punto de tangencia $f(1)$ y la pendiente $f'(1)$. 1) **Imagen en $x = 1$:** $$f(1) = \frac{1^2 + 4}{1^2 - 4} = \frac{1 + 4}{1 - 4} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}.$$ 2) **Derivada de la función:** Usamos la regla del cociente $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 4) - (x^2 + 4)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^3 - 8x - (2x^3 + 8x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 8x}{(x^2 - 4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2}$$ 3) **Pendiente en $x = 1$:** $$m = f'(1) = \frac{-16(1)}{(1^2 - 4)^2} = \frac{-16}{(-3)^2} = -\frac{16}{9}.$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en dicho punto.

Sustituimos el punto $(1, -5/3)$ y la pendiente $m = -16/9$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - \left( -\frac{5}{3} \right) = -\frac{16}{9}(x - 1)$$ $$y + \frac{5}{3} = -\frac{16}{9}x + \frac{16}{9}$$ Para despejar $y$, restamos $5/3$ en ambos lados. Notemos que $5/3 = 15/9$: $$y = -\frac{16}{9}x + \frac{16}{9} - \frac{15}{9}$$ $$y = -\frac{16}{9}x + \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = -\frac{16}{9}x + \frac{1}{9}}$$