Optimización con restricciones: Programación Lineal

Para resolver este problema de programación lineal, primero definimos las variables y traducimos el enunciado a un sistema de inecuaciones. Sean: - $x$: el primer número real. - $y$: el segundo número real. Según las condiciones del enunciado: 1. **No negativos y menores o iguales que 10:** $$0 \le x \le 10, \quad 0 \le y \le 10$$ 2. **El doble del primero menos el segundo no pase de 10:** $$2x - y \le 10$$ 3. **El triple del primero más el doble del segundo sea al menos 12:** $$3x + 2y \ge 12$$ La función que queremos minimizar es la **suma** de ambos números: $$S(x, y) = x + y$$ 💡 **Tip:** "No pase de" significa menor o igual ($\le$) y "al menos" significa mayor o igual ($\ge$).

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - $r_1: x = 0, \quad x = 10$ - $r_2: y = 0, \quad y = 10$ - $r_3: 2x - y = 10 \implies y = 2x - 10$ - $r_4: 3x + 2y = 12 \implies y = -\frac{3}{2}x + 6$ Identificamos los puntos de corte para trazar las rectas: - Para $y = 2x - 10$: si $x=5, y=0$; si $x=10, y=10$. - Para $y = -\frac{3}{2}x + 6$: si $x=0, y=6$; si $x=4, y=0$. La región factible es el polígono cerrado que cumple todas las condiciones simultáneamente.

Los vértices se obtienen mediante la intersección de las rectas que delimitan la región: 1. **Vértice A:** Intersección de $x = 0$ y $3x + 2y = 12$. $$2y = 12 \implies y = 6 \implies \mathbf{A(0, 6)}$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $y = 0$ y $3x + 2y = 12$. $$3x = 12 \implies x = 4 \implies \mathbf{B(4, 0)}$$ 3. **Vértice C:** Intersección de $y = 0$ y $2x - y = 10$. $$2x = 10 \implies x = 5 \implies \mathbf{C(5, 0)}$$ 4. **Vértice D:** Intersección de $x = 10$ y $2x - y = 10$. $$2(10) - y = 10 \implies 20 - y = 10 \implies y = 10 \implies \mathbf{D(10, 10)}$$ 5. **Vértice E:** Intersección de $x = 0$ y $y = 10$. $$\mathbf{E(0, 10)}$$ 💡 **Tip:** En programación lineal, el valor óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que los une).

Evaluamos la función $S(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices encontrados: - En $A(0, 6)$: $S(0, 6) = 0 + 6 = 6$ - En $B(4, 0)$: $S(4, 0) = 4 + 0 = 4$ $\leftarrow$ **Mínimo** - En $C(5, 0)$: $S(5, 0) = 5 + 0 = 5$ - En $D(10, 10)$: $S(10, 10) = 10 + 10 = 20$ - En $E(0, 10)$: $S(0, 10) = 0 + 10 = 10$ Comparando los resultados, el valor más pequeño obtenido es $4$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Los números son } 4 \text{ e } 0. \text{ La suma mínima es } 4}$$