Sistema de ecuaciones: Reparto de instrumentos musicales

**Plantee un sistema de ecuaciones y determine el número de instrumentos de cada tipo en la tienda.** El primer paso es asignar una incógnita a cada uno de los tipos de instrumentos que queremos calcular: - $x$: número de guitarras. - $y$: número de pianos. - $z$: número de violines. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es fundamental en los problemas con contexto para no confundir los resultados al final del ejercicio.

Traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. En total hay 70 instrumentos: $$x + y + z = 70$$ 2. La cantidad de pianos ($y$) más la de violines ($z$) es igual a la de guitarras ($x$): $$y + z = x \implies x - y - z = 0$$ 3. Con el mismo número de violines ($z$), el doble de pianos ($2y$) y cuatro veces el de guitarras ($4x$), el total sería 180: $$4x + 2y + z = 180$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 70 \\ x - y - z = 0 \\ 4x + 2y + z = 180 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre intenta ordenar las ecuaciones poniendo las variables $x, y, z$ en el mismo orden para facilitar la resolución por métodos como Gauss o Cramer.

Podemos utilizar el método de suma y resta (reducción) con las dos primeras ecuaciones para hallar $x$ rápidamente: Sumamos la ecuación 1 y la ecuación 2: $$ \begin{array}{rrc} (E_1) & x + y + z = 70 \\ (E_2) & x - y - z = 0 \\ \hline & 2x \phantom{+ y + z} = 70 \end{array} $$ Despejamos $x$: $$2x = 70 \implies x = \frac{70}{2} = 35.$$ 💡 **Tip:** En este caso, al observar que $+y+z$ y $-y-z$ se anulan, la suma directa de ecuaciones es el camino más rápido.

Sustituimos $x = 35$ en las ecuaciones $E_1$ y $E_3$ para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: De $E_1$: $$35 + y + z = 70 \implies y + z = 35 \quad (E'_1)$$ De $E_3$: $$4(35) + 2y + z = 180 \implies 140 + 2y + z = 180 \implies 2y + z = 40 \quad (E'_3)$$ Ahora restamos las dos nuevas ecuaciones $(E'_3 - E'_1)$: $$ \begin{array}{rrc} (E'_3) & 2y + z = 40 \\ (E'_1) & y + z = 35 \\ \hline & y \phantom{+ z} = 5 \end{array} $$ Sustituimos $y = 5$ en $E'_1$: $$5 + z = 35 \implies z = 30.$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas reducidos, el método de resta es muy útil cuando los coeficientes de una de las variables (en este caso $z$) son iguales.

Una vez hallados los valores de las incógnitas, comprobamos que cumplen las condiciones iniciales: - Total: $35 + 5 + 30 = 70$ (Correcto). - Pianos + Violines = Guitarras: $5 + 30 = 35$ (Correcto). - Supuesto: $4(35) + 2(5) + 30 = 140 + 10 + 30 = 180$ (Correcto). Los resultados son: - Número de guitarras: **35** - Número de pianos: **5** - Número de violines: **30** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 35, \ y = 5, \ z = 30}$$ En la tienda hay **35 guitarras, 5 pianos y 30 violines**.