Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores de $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 8 & a & 5 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 8 & a & 5 & 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el valor de $a$, calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 8 & a & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 \cdot 5) + (1 \cdot 1 \cdot 8) + (3 \cdot 3 \cdot a) - [ (8 \cdot 1 \cdot 3) + (a \cdot 1 \cdot 2) + (5 \cdot 3 \cdot 1) ]$$ $$|A| = (10 + 8 + 9a) - (24 + 2a + 15) = (18 + 9a) - (39 + 2a)$$ $$|A| = 7a - 21$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$7a - 21 = 0 \implies 7a = 21 \implies a = 3$$ 💡 **Tip:** El valor de $a$ que hace que el determinante sea cero es el que marcará el cambio en el rango de la matriz $A$.

Si $a \neq 3$, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3$$ Dado que la matriz ampliada $A^*$ tiene un tamaño de $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Al contener a $A$, tenemos que: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cada valor de $a$ distinto de 3. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 3 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $a = 3$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ para este valor: Para $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 8 & 3 & 5 \end{pmatrix}$, tomamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 8 & 3 & 5 & 2 \end{array}\right)$ analizando un menor de orden 3 que contenga la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 8 & 3 & 2 \end{vmatrix} = (4 + 0 + 18) - (16 + 0 + 6) = 22 - 22 = 0$$ Como todos los posibles menores de orden 3 son nulos (se puede observar que la fila 3 es la suma de la fila 1 más el doble de la fila 2: $F_3 = F_1 + 2F_2$), $$\text{rg}(A^*) = 2$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 3 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

**b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 3$.** Como para $a = 3$ el sistema es Compatible Indeterminado y hemos visto que el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$ es no nulo, utilizaremos las dos primeras ecuaciones y trataremos la variable $z$ como un parámetro ($z = \lambda$): $$\begin{cases} 2x + y = 2 - 3z \\ 3x + y = -z \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + y = 2 - 3\lambda \\ 3x + y = -\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar la $y$: $$(3x + y) - (2x + y) = -\lambda - (2 - 3\lambda)$$ $$x = -\lambda - 2 + 3\lambda \implies x = -2 + 2\lambda$$ Ahora sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$3(-2 + 2\lambda) + y = -\lambda$$ $$-6 + 6\lambda + y = -\lambda$$ $$y = 6 - \lambda - 6\lambda \implies y = 6 - 7\lambda$$ 💡 **Tip:** Recuerda indicar siempre que $\lambda$ es un número real cualquiera. ✅ **Solución final:** $$\boxed{\begin{cases} x = -2 + 2\lambda \\ y = 6 - 7\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$