Probabilidad de meteorología en Madrid

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos de interés y traducimos los porcentajes a probabilidades decimales: - $N$: El día está nublado. - $T$: La temperatura baja de los 10 grados. Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(N) = 50\% = 0,50$ - $P(T) = 7\% = 0,07$ - $P(N \cup T) = 35\% = 0,35$ (probabilidad de que esté nublado **o** baje la temperatura). 💡 **Tip:** Recuerda que en probabilidad, la conjunción "o" se asocia con la **unión** de sucesos ($A \cup B$), mientras que la conjunción "y" se asocia con la **intersección** ($A \cap B$).

Para organizar la información y visualizar las relaciones entre los sucesos, podemos intentar construir una tabla de contingencia. Sin embargo, notamos algo inusual en los datos: $P(N \cup T)$ es menor que $P(N)$, lo cual es teóricamente imposible en una distribución de probabilidad real (ya que $N \subset (N \cup T)$). Procederemos aplicando estrictamente las fórmulas matemáticas a los valores proporcionados por el enunciado: $$\begin{array}{c|cc|c} & T & \overline{T} & \text{Total} \\ \hline N & P(N \cap T) & P(N \cap \overline{T}) & 0,50 \\ \overline{N} & P(\overline{N} \cap T) & P(\overline{N} \cap \overline{T}) & 0,50 \\ \hline \text{Total} & 0,07 & 0,93 & 1,00 \end{array}$$ Calcularemos los huecos de la tabla en los siguientes pasos.

**a) Esté nublado y la temperatura baje de los 10 grados.** Nos piden calcular $P(N \cap T)$. Para ello utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(N \cup T) = P(N) + P(T) - P(N \cap T)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,35 = 0,50 + 0,07 - P(N \cap T)$$ Despejamos la intersección: $$P(N \cap T) = 0,50 + 0,07 - 0,35$$ $$P(N \cap T) = 0,57 - 0,35 = 0,22$$ 💡 **Tip:** Aunque el resultado es numéricamente correcto según la fórmula, en un contexto real la probabilidad de que ocurran dos cosas a la vez ($N \cap T$) nunca puede ser mayor que la probabilidad de que ocurra una sola de ellas ($T = 0,07$). En este ejercicio, seguiremos operando con los valores obtenidos del enunciado. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(N \cap T) = 0,22}$$ *(Nota: 22 % de los días)*

**b) No esté nublado, sabiendo que la temperatura no baja de los 10 grados.** Nos piden una probabilidad condicionada: $P(\overline{N} | \overline{T})$. La fórmula es: $$P(\overline{N} | \overline{T}) = \frac{P(\overline{N} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})}$$ **1. Calculamos el denominador $P(\overline{T})$:** Como es el suceso contrario a $T$: $$P(\overline{T}) = 1 - P(T) = 1 - 0,07 = 0,93$$ **2. Calculamos el numerador $P(\overline{N} \cap \overline{T})$:** Por las leyes de De Morgan, sabemos que $\overline{N} \cap \overline{T} = \overline{N \cup T}$. Por tanto: $$P(\overline{N} \cap \overline{T}) = 1 - P(N \cup T) = 1 - 0,35 = 0,65$$ **3. Aplicamos la fórmula final:** $$P(\overline{N} | \overline{T}) = \frac{0,65}{0,93} \approx 0,6989$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(\overline{N} | \overline{T}) = \frac{65}{93} \approx 0,6989}$$ *(Nota: Aproximadamente un 69,89 % de probabilidad)*