Intervalo de confianza y probabilidad de la media muestral

**a) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 asignaturas de primer año, obteniéndose que el pocentaje medio de aprobados en la muestra es de 65 puntos porcentuales. Determine un intervalo de confianza al 99 % para $\mu$.** Primero, extraemos los datos proporcionados para la construcción del intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 8$ - Tamaño de la muestra: $n = 20$ - Media muestral: $\bar{x} = 65$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 99 %: 1. Si $1 - \alpha = 0.99$, entonces $\alpha = 0.01$ y $\alpha/2 = 0.005$. 2. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. 3. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.995$, el valor se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Habitualmente se toma el valor intermedio: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media con $\sigma$ conocida viene dado por $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{8}{\sqrt{20}}$$ Realizamos las operaciones: $$E = 2.575 \cdot \frac{8}{4.4721} \approx 2.575 \cdot 1.7889 \approx 4.6063$$ Ahora, formamos el intervalo $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $65 - 4.6063 = 60.3937$ - Límite superior: $65 + 4.6063 = 69.6063$ Por tanto, el intervalo de confianza al 99 % es: $$\boxed{IC = (60.3937, 69.6063)}$$

**b) Suponga que $\mu = 67$ puntos porcentuales. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 asignaturas, la media muestral, $\bar{X}$, esté comprendida entre 65 y 69 puntos porcentuales.** En este apartado, nos dan un valor teórico para la media poblacional $\mu = 67$. Sabemos que la distribución de la media muestral $\bar{X}$ para muestras de tamaño $n$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Sustituimos los valores conocidos: - $\mu = 67$ - $\sigma = 8$ - $n = 10$ La desviación típica de la media muestral es: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{8}{\sqrt{10}} \approx \frac{8}{3.1623} \approx 2.5298$$ Así, $\bar{X} \sim N(67, 2.5298)$. Nos piden calcular $P(65 \le \bar{X} \le 69)$. 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular probabilidades en cualquier normal, debemos tipificar la variable usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.

Tipificamos los valores del intervalo: Para $x_1 = 65$: $z_1 = \frac{65 - 67}{2.5298} = \frac{-2}{2.5298} \approx -0.79$ Para $x_2 = 69$: $z_2 = \frac{69 - 67}{2.5298} = \frac{2}{2.5298} \approx 0.79$ La probabilidad solicitada es: $$P(65 \le \bar{X} \le 69) = P(-0.79 \le Z \le 0.79)$$ Calculamos mediante la propiedad del intervalo en la normal: $$P(-0.79 \le Z \le 0.79) = P(Z \le 0.79) - P(Z \le -0.79)$$ Usando la simetría de la normal: $P(Z \le -0.79) = 1 - P(Z \le 0.79)$: $$P(Z \le 0.79) - [1 - P(Z \le 0.79)] = 2 \cdot P(Z \le 0.79) - 1$$ Buscamos en la tabla $N(0,1)$ el valor de $P(Z \le 0.79) = 0.7852$: $$2 \cdot 0.7852 - 1 = 1.5704 - 1 = 0.5704$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(65 \le \bar{X} \le 69) = 0.5704}$$