Probabilidad de viajes por vacaciones según renta mensual

Primero, definimos los sucesos relativos a la renta mensual de las familias y al hecho de viajar: * $R_1$: La familia tiene una renta inferior a 1500 €. * $R_2$: La familia tiene una renta entre 1500 y 3000 €. * $R_3$: La familia tiene una renta superior a 3000 €. * $V$: La familia viaja por vacaciones. * $\bar{V}$: La familia no viaja por vacaciones. Extraemos los datos del enunciado: * $P(R_2) = 45,68\% = 0,4568$ * $P(R_3) = 23,98\% = 0,2398$ Como estos tres grupos de renta cubren a todas las familias (son sucesos incompatibles y su unión es el espacio muestral), calculamos $P(R_1)$ restando a 1 (o 100%) las demás: $$P(R_1) = 1 - (P(R_2) + P(R_3)) = 1 - (0,4568 + 0,2398) = 1 - 0,6966 = 0,3034$$ Las probabilidades condicionadas (viajar según la renta) son: * $P(V|R_1) = 0,10$ * $P(V|R_2) = 0,40$ * $P(V|R_3) = 0,85$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con porcentajes, es fundamental trabajar en forma decimal para evitar errores en las operaciones.

Para visualizar mejor la situación, construimos un diagrama de árbol con los datos obtenidos:

**a) Viaje por vacaciones.** Para calcular la probabilidad total de que una familia viaje, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de llegar al suceso $V$ a través de cada uno de los tres niveles de renta: $$P(V) = P(R_1) \cdot P(V|R_1) + P(R_2) \cdot P(V|R_2) + P(R_3) \cdot P(V|R_3)$$ Sustituimos los valores numéricos: $$P(V) = 0,3034 \cdot 0,10 + 0,4568 \cdot 0,40 + 0,2398 \cdot 0,85$$ $$P(V) = 0,03034 + 0,18272 + 0,20383 = 0,41689$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando un suceso depende de varios casos previos que dividen el total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V) = 0,41689}$$ (Aproximadamente un $41,69\%$).

**b) Sabiendo que viaja por vacaciones, su ingreso mensual sea mayor de 1500 euros.** Este apartado nos pide una probabilidad a posteriori, por lo que usaremos el **Teorema de Bayes**. Queremos hallar la probabilidad de que la renta sea mayor de 1500 € (esto incluye los sucesos $R_2$ y $R_3$) sabiendo que la familia viaja ($V$): $$P(R_2 \cup R_3 | V) = P(R_2 | V) + P(R_3 | V)$$ O de forma más directa, usando la definición de probabilidad condicionada: $$P(R_2 \cup R_3 | V) = \frac{P((R_2 \cup R_3) \cap V)}{P(V)} = \frac{P(R_2 \cap V) + P(R_3 \cap V)}{P(V)}$$ Ya tenemos los datos del numerador calculados anteriormente: * $P(R_2 \cap V) = 0,4568 \cdot 0,40 = 0,18272$ * $P(R_3 \cap V) = 0,2398 \cdot 0,85 = 0,20383$ Sumamos ambas: $$P((R_2 \cup R_3) \cap V) = 0,18272 + 0,20383 = 0,38655$$ Ahora dividimos por la probabilidad total $P(V)$ calculada en el apartado anterior: $$P(R_2 \cup R_3 | V) = \frac{0,38655}{0,41689} \approx 0,92722$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condición: si conocemos $P(V|R)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(R|V)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_2 \cup R_3 | V) \approx 0,9272}$$