Invertibilidad de una matriz con parámetros y cálculo de la matriz inversa

**a) Determine los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para los que exista la inversa de $A$.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). Comenzamos calculando el determinante de $A$ en función del parámetro $a$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 - a & -2 & -1 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & -2 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(1 - a) \cdot a \cdot a] + [(-2) \cdot 1 \cdot 2] + [(-1) \cdot 1 \cdot (-2)] - [(-1) \cdot a \cdot 2 + (1 - a) \cdot 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 \cdot a]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de Sarrus consiste en sumar los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas.

Operamos las expresiones obtenidas: $$|A| = (1 - a)a^2 - 4 + 2 - [-2a - 2(1 - a) - 2a]$$ $$|A| = a^2 - a^3 - 2 - [-2a - 2 + 2a - 2a]$$ $$|A| = a^2 - a^3 - 2 - [-2a - 2]$$ $$|A| = -a^3 + a^2 - 2 + 2a + 2$$ $$|A| = -a^3 + a^2 + 2a$$ Para encontrar los valores de $a$ que hacen que el determinante sea cero, resolvemos la ecuación: $$-a^3 + a^2 + 2a = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $-a$: $$-a(a^2 - a - 2) = 0$$ Esto nos da una primera solución: **$a = 0$**. Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado $a^2 - a - 2 = 0$: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Las otras dos soluciones son: $$a_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{y} \quad a_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ 💡 **Tip:** Una matriz es invertible (regular) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

La matriz $A$ tendrá inversa siempre que su determinante sea distinto de cero. Por tanto, debe cumplirse que: $$-a^3 + a^2 + 2a \neq 0 \implies a \neq 0, \, a \neq 2, \, a \neq -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 2\}}$$

**b) Para $a = -2$, calcule $A^{-1}$.** Primero, sustituimos $a = -2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 - (-2) & -2 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el valor del determinante para $a = -2$ usando la expresión obtenida en el apartado anterior: $$|A| = -(-2)^3 + (-2)^2 + 2(-2) = -(-8) + 4 - 4 = 8$$ Como $|A| = 8 \neq 0$, la matriz es invertible. 💡 **Tip:** La fórmula para calcular la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^T$, donde $Adj(A)$ es la matriz de los adjuntos.

Calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $A$: $$A_{11} = + \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 4 - (-2) = 6$$ $$A_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - 2) = 4$$ $$A_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -2 - (-4) = 2$$ $$A_{21} = - \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = -(4 - 2) = -2$$ $$A_{22} = + \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -6 - (-2) = -4$$ $$A_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -(-6 - (-4)) = 2$$ $$A_{31} = + \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4$$ $$A_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(3 - (-1)) = -4$$ $$A_{33} = + \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -6 - (-2) = -4$$ La matriz de adjuntos es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & -4 & 2 \\ -4 & -4 & -4 \end{pmatrix}$$

Ahora trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(A))^T = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -4 \\ 4 & -4 & -4 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = 8$: $$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & -2 & -4 \\ 4 & -4 & -4 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6/8 & -2/8 & -4/8 \\ 4/8 & -4/8 & -4/8 \\ 2/8 & 2/8 & -4/8 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/4 & -1/4 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/4 & 1/4 & -1/2 \end{pmatrix}}$$