Cálculo de una primitiva y estudio de la monotonía

**a) Obtenga la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0, 2)$.** Para hallar la función $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida de la expresión dada: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x^2 + x - 2) \, dx$$ Aplicamos la regla de integración para potencias ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$): $$f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C$$ Donde $C$ es la constante de integración que debemos determinar. 💡 **Tip:** Recuerda que al integrar una suma de funciones, puedes integrar cada término por separado y no debes olvidar nunca añadir la constante $+C$.

Sabemos que la función pasa por el punto $(0, 2)$, lo que significa que cuando $x = 0$, el valor de la función es $f(0) = 2$. Sustituimos estos valores en nuestra expresión de $f(x)$: $$f(0) = \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} - 2(0) + C = 2$$ $$0 + 0 - 0 + C = 2 \implies C = 2$$ Por tanto, la expresión definitiva de la función es: $$\boxed{f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + 2}$$ 💡 **Tip:** La condición de pasar por un punto $(x_0, y_0)$ sirve para fijar el valor de la constante de integración, convirtiendo una familia de curvas en una única función específica.

**b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), primero buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son candidatos a ser máximos o mínimos relativos. También debemos tener en cuenta el dominio de la función, que en este caso es $\mathbb{R}$ por ser una función polinómica.

Dividimos la recta real en intervalos usando los puntos críticos $x = -2$ y $x = 1$. Analizamos el signo de $f'(x) = (x+2)(x-1)$ en cada tramo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline x+2 & - & 0 & + & + & +\\ x-1 & - & - & - & 0 & +\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(-2, 1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. ✅ **Intervalos de crecimiento:** $\boxed{(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)}$ ✅ **Intervalos de decrecimiento:** $\boxed{(-2, 1)}$

Basándonos en el cambio de signo de la derivada: 1. En $x = -2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. 2. En $x = 1$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos las coordenadas $y$ sustituyendo en $f(x)$: - Para $x = -2$: $f(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} - 2(-2) + 2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 + 2 = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}$ - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} - 2(1) + 2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ ✅ **Máximo relativo:** $\boxed{(-2, 16/3)}$ ✅ **Mínimo relativo:** $\boxed{(1, 5/6)}$