Continuidad de una función a trozos y cálculo de áreas

**a) Halle el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio.** Primero, analizamos la continuidad de cada rama de la función por separado: 1. Para $x \lt 1$, la función es $f(x) = x^2 - x + e^2$. Al ser una función polinómica, es continua en todo su intervalo $(-\infty, 1)$. 2. Para $x \gt 1$, la función es $f(x) = ae^{2x}$. Al ser una función exponencial, es continua en todo su intervalo $(1, +\infty)$ para cualquier valor de $a$. Por tanto, el único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el punto de salto entre ramas, $x = 1$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada rama y además los límites laterales coinciden en los puntos donde cambia la definición.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista $f(1)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. 3. Que $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$. Calculamos el valor de la función en el punto: $$f(1) = ae^{2(1)} = ae^2$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 - x + e^2) = 1^2 - 1 + e^2 = e^2$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ae^{2x}) = ae^{2(1)} = ae^2$$ Para que la función sea continua, los límites laterales deben ser iguales: $$e^2 = ae^2$$ Despejamos $a$: $$a = \frac{e^2}{e^2} = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) Para $a = 1$, calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = 2$.** Para $a = 1$, la función en el intervalo $[1, 2]$ viene dada por la segunda rama: $$f(x) = e^{2x}$$ El área de la región delimitada por la gráfica de una función positiva $f(x)$, el eje $X$ y las verticales $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral definida: $$\text{Área} = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} e^{2x} \, dx$$ Observamos que $e^{2x} > 0$ para todo $x$, por lo que la función siempre está por encima del eje de abscisas y el área coincidirá con el valor de la integral. 💡 **Tip:** Recuerda que si la función fuera negativa en algún tramo, deberíamos tomar el valor absoluto o separar la integral por tramos.

Calculamos primero la integral indefinida (la primitiva). Para integrar $e^{2x}$, usamos la regla $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx}$: $$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida entre 1 y 2: $$\text{Área} = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{1}{2} e^{2(2)} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{2(1)} \right)$$ Operamos los exponentes: $$\text{Área} = \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} e^2 = \frac{e^4 - e^2}{2} \text{ unidades}^2$$ Podemos dejar el resultado en función de $e$ o dar una aproximación decimal: $$\text{Área} \approx \frac{54.598 - 7.389}{2} \approx 23.605 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{e^4 - e^2}{2} \text{ u}^2}$$