Estudio de asíntotas y recta tangente

**a) Determine las asíntotas de esta función.** Primero, identificamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ El dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$. Las asíntotas verticales suelen encontrarse en estos puntos. Calculamos los límites laterales en $x = -3$: $$\lim_{x \to -3} \frac{x - 2}{x^2 - 9} = \frac{-3-2}{0} = \frac{-5}{0} = \pm \infty$$ Calculamos los límites laterales en $x = 3$: $$\lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x^2 - 9} = \frac{3-2}{0} = \frac{1}{0} = \pm \infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto da como resultado $\frac{k}{0}$ (con $k \neq 0$), existe una asíntota vertical en ese valor de $x$. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = -3, \quad x = 3}$$

Para buscar las asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{x^2 - 9} = 0$$ Esto ocurre porque el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$). Por tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$** tanto para $+\infty$ como para $-\infty$. Como existe asíntota horizontal, **no hay asíntota oblicua**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es siempre $y=0$. Si los grados son iguales, es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (Asíntotas Horizontales):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En nuestro caso, $a = 0$. Primero calculamos el valor de la función en ese punto ($y_0$): $$f(0) = \frac{0 - 2}{0^2 - 9} = \frac{-2}{-9} = \frac{2}{9}$$ El punto de tangencia es **$P(0, 2/9)$**. 💡 **Tip:** Antes de derivar, siempre es buena idea calcular la imagen del punto para tener las coordenadas completas $(x_0, y_0)$.

Para hallar la pendiente ($m = f'(0)$), derivamos la función utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x - 2)'(x^2 - 9) - (x - 2)(x^2 - 9)'}{(x^2 - 9)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 - 9) - (x - 2) \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 9 - 2x^2 + 4x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-x^2 + 4x - 9}{(x^2 - 9)^2}$$ Ahora evaluamos en $x = 0$ para obtener la pendiente: $$m = f'(0) = \frac{-0^2 + 4(0) - 9}{(0^2 - 9)^2} = \frac{-9}{(-9)^2} = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Ten mucho cuidado con el signo menos del numerador al distribuir.

Sustituimos el punto $(0, 2/9)$ y la pendiente $m = -1/9$ en la fórmula punto-pendiente: $$y - \frac{2}{9} = -\frac{1}{9}(x - 0)$$ $$y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{9}$$ Podemos expresarla de forma general multiplicando todo por 9: $$9y = -x + 2 \implies x + 9y - 2 = 0$$ ✅ **Resultado (Recta Tangente):** $$\boxed{y = -\frac{1}{9}x + \frac{2}{9}}$$