Programación Lineal: Maximización de beneficios en producción farmacéutica

**5. (2 puntos) Se dispone de 60 gramos de ácido acetilsalicílico para elaborar tabletas en dos formatos, de 4 gramos y de 3 gramos respectivamente. Se necesitan al menos tres tabletas de 4 gramos, al menos ocho tabletas de 3 gramos y al menos el doble de tabletas de 3 gramos que de 4 gramos. Cada tableta de 4 gramos proporciona un beneficio de 1,5 euros y cada tableta de 3 gramos proporciona un beneficio de 1 euro. ¿Cuántas tabletas deberían fabricarse de cada tipo para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de tabletas de 4 gramos. - $y$: número de tabletas de 3 gramos. La función que queremos maximizar es el beneficio total ($B$), que depende del número de tabletas de cada tipo: $$B(x, y) = 1,5x + 1y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, identifica siempre qué cantidades puedes variar (variables) y qué es lo que quieres hacer con ellas (maximizar o minimizar una función).

A partir del enunciado, extraemos las condiciones o restricciones técnicas: 1. **Restricción de materia prima:** El total de gramos usados no puede superar los 60 g. $$4x + 3y \le 60$$ 2. **Mínimo de tabletas de 4g:** Al menos tres tabletas. $$x \ge 3$$ 3. **Mínimo de tabletas de 3g:** Al menos ocho tabletas. $$y \ge 8$$ 4. **Relación entre formatos:** Al menos el doble de tabletas de 3g que de 4g. $$y \ge 2x$$ 5. **No negatividad:** Como son cantidades físicas, $x \ge 0$ e $y \ge 0$ (aunque estas ya están implícitas en las restricciones anteriores). El sistema de inecuaciones es: $$\begin{cases} 4x + 3y \le 60 \\ x \ge 3 \\ y \ge 8 \\ y \ge 2x \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Presta mucha atención a frases como "al menos" ($\ge$) o "como máximo" ($\le$).

La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones. Los candidatos a ser el máximo beneficio son los vértices de esta región. Los hallamos resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cruzan: - **Vértice A:** Intersección de $x = 3$ e $y = 8$. Comprobamos si cumple $y \ge 2x$: $8 \ge 2(3) = 6$ (Sí). Comprobamos si cumple $4x + 3y \le 60$: $4(3) + 3(8) = 12 + 24 = 36 \le 60$ (Sí). $$\mathbf{A(3, 8)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 3$ y $4x + 3y = 60$. $4(3) + 3y = 60 \implies 12 + 3y = 60 \implies 3y = 48 \implies y = 16$. Comprobamos $y \ge 2x$: $16 \ge 6$ (Sí). $$\mathbf{B(3, 16)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $y = 2x$ y $4x + 3y = 60$. $4x + 3(2x) = 60 \implies 4x + 6x = 60 \implies 10x = 60 \implies x = 6, y = 12$. $$\mathbf{C(6, 12)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $y = 8$ e $y = 2x$. $8 = 2x \implies x = 4, y = 8$. Comprobamos $4x + 3y \le 60$: $4(4) + 3(8) = 16 + 24 = 40 \le 60$ (Sí). $$\mathbf{D(4, 8)}$$

A continuación, se muestra la región factible (en azul) delimitada por las restricciones calculadas.

Calculamos el beneficio $B(x, y) = 1,5x + y$ en cada uno de los vértices obtenidos: - En $A(3, 8)$: $B(3, 8) = 1,5(3) + 8 = 4,5 + 8 = 12,5$ € - En $B(3, 16)$: $B(3, 16) = 1,5(3) + 16 = 4,5 + 16 = 20,5$ € - En $C(6, 12)$: $B(6, 12) = 1,5(6) + 12 = 9 + 12 = 21$ € - En $D(4, 8)$: $B(4, 8) = 1,5(4) + 8 = 6 + 8 = 14$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(6, 12)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 6 tabletas de 4g y 12 tabletas de 3g.}}$$ $$\boxed{\text{El beneficio máximo es de 21 euros.}}$$ 💡 **Tip:** Siempre escribe la respuesta final respondiendo explícitamente a lo que pregunta el enunciado, incluyendo las unidades (euros, tabletas, etc.).