Problema de sistema de ecuaciones: Entradas de baloncesto

En primer lugar, debemos identificar qué magnitudes queremos calcular y asignarles una variable. En este caso, el número de entradas vendidas de cada tipo: - $x$: número de entradas **generales** vendidas. - $y$: número de entradas para **estudiantes** vendidas. - $z$: número de entradas **infantiles** vendidas. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante para no confundir los datos durante el planteamiento.

A partir del enunciado, extraemos tres condiciones para formar las tres ecuaciones: 1. **Total de entradas vendidas (600):** $$x + y + z = 600$$ 2. **Recaudación total (4900 €):** Multiplicamos cada tipo de entrada por su precio (10, 8 y 5 euros respectivamente): $$10x + 8y + 5z = 4900$$ 3. **Relación entre entradas generales e infantiles:** El doble de entradas generales que infantiles ($x$ es el doble de $z$): $$x = 2z \implies x - 2z = 0$$ El sistema de ecuaciones lineales resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 600 \\ 10x + 8y + 5z = 4900 \\ x - 2z = 0 \end{cases}$$

Dado que la tercera ecuación nos da una relación directa entre $x$ y $z$ ($x = 2z$), utilizaremos el método de **sustitución** para reducir el sistema a dos incógnitas. Sustituimos $x = 2z$ en las dos primeras ecuaciones: 1. En la primera: $$(2z) + y + z = 600 \implies y + 3z = 600$$ 2. En la segunda: $$10(2z) + 8y + 5z = 4900 \implies 20z + 8y + 5z = 4900 \implies 8y + 25z = 4900$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$): $$\begin{cases} y + 3z = 600 \\ 8y + 25z = 4900 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando una de las ecuaciones es tan sencilla como $x=2z$.

Despejamos $y$ de la primera ecuación del nuevo sistema: $$y = 600 - 3z$$ Sustituimos este valor en la segunda ecuación: $$8(600 - 3z) + 25z = 4900$$ $$4800 - 24z + 25z = 4900$$ $$z = 4900 - 4800$$ $$\mathbf{z = 100}$$ Ahora calculamos $y$ sustituyendo el valor de $z$: $$y = 600 - 3(100) = 600 - 300$$ $$\mathbf{y = 300}$$

Finalmente, recuperamos el valor de $x$ utilizando la relación inicial $x = 2z$: $$x = 2(100)$$ $$\mathbf{x = 200}$$ **Comprobación:** - Entradas totales: $200 + 300 + 100 = 600$ (Correcto). - Recaudación: $10(200) + 8(300) + 5(100) = 2000 + 2400 + 500 = 4900$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se vendieron 200 entradas generales, 300 de estudiantes y 100 infantiles.}}$$