Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A'$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 & a+1 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Para discutir un sistema, el primer paso es siempre calcular el determinante de la matriz de coeficientes para ver qué valores de $a$ anulan su rango máximo.

Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (2 \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (a \cdot 1 \cdot 1)]$$ $|A| = 2a^2 + 1 + 1 - (a + 2 + a) = 2a^2 + 2 - (2a + 2)$ $|A| = 2a^2 - 2a$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$2a^2 - 2a = 0 \implies 2a(a - 1) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: - $a = 0$ - $a = 1$ $$\boxed{a = 0, \quad a = 1}$$

Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por lo tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A') = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que el de $A$) - Número de incógnitas = 3 Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, 1: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $a = 0$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el determinante de una submatriz de orden 3 dentro de $A'$ (usando la columna de términos independientes): $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 + 1 + 0) - (0 + 2 + 2) = 1 - 4 = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en $A'$, entonces $\text{rango}(A') = 3$. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A') = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 0: \text{ Sistema Incompatible}}$$

Si $a = 1$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda y tercera fila son idénticas ($F_2 = F_3$). Esto reduce el rango de la matriz. Buscamos el rango de $A$ con un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como la tercera fila de $A'$ es igual a la segunda, no podemos formar ningún menor de orden 3 distinto de cero en $A'$. Por tanto, $\text{rango}(A') = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A') = 2 \lt \text{número de incógnitas (3)}$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado Final Discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 0, 1: \text{SCD} \\ a = 0: \text{SI} \\ a = 1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 1$.** Como hemos visto, si $a = 1$ el sistema es Compatible Indeterminado. El sistema resultante es: $$\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$ Podemos eliminar la tercera ecuación por ser redundante. Nos quedamos con: $$\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación de la primera ($E_1 - E_2$): $$(2x - x) + (y - y) + (z - z) = 1 - 2 \implies x = -1$$ Sustituimos $x = -1$ en la segunda ecuación: $$-1 + y + z = 2 \implies y + z = 3 \implies y = 3 - z$$ Para expresar la solución general, usamos un parámetro $\lambda$ para la variable libre $z$: Let $z = \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R}$. Entonces: $x = -1$ $y = 3 - \lambda$ $z = \lambda$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es igual a (nº incógnitas - rango). Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{x = -1, \quad y = 3 - \lambda, \quad z = \lambda \quad (\forall \lambda \in \mathbb{R})}$$