Probabilidad de gustos musicales en un festival

**8. (2 puntos) En un festival de música con 200 asistentes se observa que a 90 personas les gusta el pop, a 70 el techno y a 30 les gustan ambos géneros. Eligiendo al azar a un asistente del festival, calcule la probabilidad de que:** Primero, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $P$: Al asistente le gusta el música Pop. - $T$: Al asistente le gusta el música Techno. Datos conocidos: - Total de asistentes: $N = 200$ - Les gusta el Pop: $n(P) = 90$ - Les gusta el Techno: $n(T) = 70$ - Les gustan ambos ($P \cap T$): $n(P \cap T) = 30$ Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor los datos y calcular el resto de valores: $$\begin{array}{r|cc|c} & \text{Pop (P)} & \text{No Pop (}\bar{P}\text{)} & \text{Total} \\\hline \text{Techno (T)} & 30 & 40 & 70 \\ \text{No Techno (}\bar{T}\text{)} & 60 & 70 & 130 \\\hline \text{Total} & 90 & 110 & 200 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para completar la tabla, recuerda que la suma de las filas y columnas debe coincidir con los totales. Por ejemplo, si a 70 les gusta el techno y a 30 les gustan ambos, a $70 - 30 = 40$ les gusta el techno pero no el pop.

**a) Le guste al menos uno de los dos géneros musicales.** La expresión "al menos uno" equivale a la **unión de los sucesos** ($P \cup T$). Podemos calcularlo de dos formas: **Método 1: Usando la fórmula de la probabilidad de la unión** $$P(P \cup T) = P(P) + P(T) - P(P \cap T)$$ Calculamos las probabilidades individuales dividiendo los casos favorables entre los totales (Regla de Laplace): - $P(P) = \dfrac{90}{200} = 0.45$ - $P(T) = \dfrac{70}{200} = 0.35$ - $P(P \cap T) = \dfrac{30}{200} = 0.15$ Sustituimos en la fórmula: $$P(P \cup T) = 0.45 + 0.35 - 0.15 = 0.65$$ **Método 2: Usando los datos de la tabla** Sumamos las personas a las que les gusta solo Pop, solo Techno o ambos: $n(P \cup T) = 60 \text{ (solo P)} + 40 \text{ (solo T)} + 30 \text{ (ambos)} = 130$ $$P(P \cup T) = \dfrac{130}{200} = 0.65$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "al menos uno" siempre se traduce matemáticamente como la unión: $A \cup B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P \cup T) = 0.65}$$

**b) Le guste el techno pero no el pop.** Este suceso se define como la intersección de gustarle el Techno ($T$) y no gustarle el Pop ($\bar{P}$), denotado como $T \cap \bar{P}$ (o también $T \setminus P$). Consultando nuestra **tabla de contingencia**: - Los asistentes que cumplen esta condición están en la fila de "Techno" y la columna de "No Pop". - Casos favorables: $n(T \cap \bar{P}) = 40$ Aplicamos la Regla de Laplace: $$P(T \cap \bar{P}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{40}{200}$$ Simplificamos la fracción: $$P(T \cap \bar{P}) = \frac{4}{20} = \frac{2}{10} = 0.2$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de "A pero no B" es $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$. En este caso: $0.35 - 0.15 = 0.20$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \cap \bar{P}) = 0.2}$$