Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Se selecciona aleatoriamente una muestra de 25 plantas acuáticas y se determina que la cantidad media de agua absorbida es de 120 ml. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la media de la cantidad de agua absorbida por este tipo de planta acuática.** Primero, extraemos los datos proporcionados en el enunciado: - Distribución poblacional: $N(\mu, \sigma=8)$. - Tamaño de la muestra: $n = 25$. - Media muestral: $\bar{x} = 120$ ml. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $95\%$ de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$. Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. En las tablas, observamos que para una probabilidad de $0.975$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para los niveles de confianza más habituales, los valores críticos son: $90\% \to 1.645$, $95\% \to 1.96$ y $99\% \to 2.575$.

Utilizamos la fórmula del error máximo admisible: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1.96 \cdot \frac{8}{\sqrt{25}} = 1.96 \cdot \frac{8}{5} = 1.96 \cdot 1.6 = 3.136$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (120 - 3.136, 120 + 3.136) = (116.864, 123.136)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (116.864, 123.136)}$$

**b) Determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que el error máximo, en la estimación de la media de la cantidad de agua absorbida, sea menor que 1 ml, con un nivel de confianza del 90 %.** Para este apartado, los parámetros cambian: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10 \implies \alpha/2 = 0.05$. - Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. En las tablas de la normal, el valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Por precisión, tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** En inferencia, si buscas $0.95$ y no está exacto pero tienes $0.9495$ y $0.9505$, usa la media de sus valores $z$ correspondientes.

Queremos que el error sea menor que $1$ ml ($E \lt 1$). Usamos la expresión del error: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Sustituimos los datos ($z_{\alpha/2} = 1.645$ y $\sigma = 8$): $$1.645 \cdot \frac{8}{\sqrt{n}} \lt 1$$ $$13.16 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para despejar $n$: $$n \gt (13.16)^2$$ $$n \gt 173.1856$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y buscamos el mínimo que cumpla la condición de que el error sea **menor** que 1, debemos redondear siempre al siguiente entero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 174 \text{ plantas}}$$