Probabilidad y Estadística 2024 Madrid
Probabilidad en piscifactoría: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes
10. (2 puntos) En tres tanques, A, B y C, de una piscifactoría se crían, respectivamente, el 35 %, el 20 % y el 45 % de los alevines de salmón noruego. Se sabe que el 15 % de los alevines criados en el tanque A, el 30 % de los alevines criados en el tanque B y el 25 % de los alevines criados en el tanque C miden más de 35 mm. Eligiendo al azar un alevín de salmón noruego, calcule la probabilidad de que:
a) Mida más de 35 mm.
b) Sabiendo que no mide más de 35 mm, proceda del tanque C.
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a) Mida más de 35 mm.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El alevín procede del tanque A.
- $B$: El alevín procede del tanque B.
- $C$: El alevín procede del tanque C.
- $M$: El alevín mide más de 35 mm.
- $\bar{M}$: El alevín no mide más de 35 mm (mide 35 mm o menos).
Organizamos la información en un **diagrama de árbol** para visualizar las probabilidades:
💡 **Tip:** Recuerda que en un diagrama de árbol, las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo deben sumar 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de medir más de 35 mm
Para calcular $P(M)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso $M$ puede ocurrir a través de los tres tanques (A, B o C):
$$P(M) = P(A) \cdot P(M|A) + P(B) \cdot P(M|B) + P(C) \cdot P(M|C)$$
Sustituimos los valores conocidos:
- $P(A) = 0.35$; $P(M|A) = 0.15$
- $P(B) = 0.20$; $P(M|B) = 0.30$
- $P(C) = 0.45$; $P(M|C) = 0.25$
$$P(M) = 0.35 \cdot 0.15 + 0.20 \cdot 0.30 + 0.45 \cdot 0.25$$
$$P(M) = 0.0525 + 0.06 + 0.1125$$
$$P(M) = 0.225$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M) = 0.225}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Sabiendo que no mide más de 35 mm, proceda del tanque C.**
Se nos pide calcular la probabilidad de que proceda del tanque C dado que el alevín no mide más de 35 mm, es decir, $P(C|\bar{M})$.
Usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|\bar{M}) = \frac{P(C \cap \bar{M})}{P(\bar{M})} = \frac{P(C) \cdot P(\bar{M}|C)}{P(\bar{M})}$$
Calculamos primero el denominador $P(\bar{M})$, que es la probabilidad del suceso contrario a $M$:
$$P(\bar{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0.225 = 0.775$$
Ahora calculamos el numerador:
$$P(C) \cdot P(\bar{M}|C) = 0.45 \cdot 0.75 = 0.3375$$
Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada:
$$P(C|\bar{M}) = \frac{0.3375}{0.775} \approx 0.43548$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada. Si conocemos $P(M|C)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(C|M)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|\bar{M}) = \frac{0.3375}{0.775} = \frac{27}{62} \approx 0.4355}$$