Sistema de ecuaciones matriciales y rango

**a) (1.75 puntos) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales:** $$\begin{cases} (A + I_3) \cdot X + Y = A - I_3 \\ X - Y = I_3 \end{cases}$$ Para resolver el sistema, podemos utilizar el método de reducción. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la matriz $Y$: $$[(A + I_3) X + Y] + [X - Y] = (A - I_3) + I_3$$ $$(A + I_3) X + X = A$$ Factorizamos $X$ por la derecha: $$(A + I_3 + I_3) X = A \implies (A + 2I_3) X = A$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con ecuaciones matriciales, el orden de los factores es crucial porque el producto de matrices no es conmutativo. Aquí $X$ se factoriza por la derecha.

Llamemos $B = A + 2I_3$. Calculamos su valor: $$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Para despejar $X$ en la ecuación $B \cdot X = A$, necesitamos calcular la matriz inversa $B^{-1}$ (si existe). $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}}$$

Primero calculamos el determinante de $B$ por la regla de Sarrus: $$|B| = |4 \cdot 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot 2 + 0| - |0 + 4 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 4| = (48 + 4) - 16 = 52 - 16 = 36$$ Como $|B| = 36 \neq 0$, la matriz $B$ es **invertible**. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(B)$: - $B_{11} = +(12 - 4) = 8$ - $B_{12} = -(0 - 4) = 4$ - $B_{13} = +(0 - 6) = -6$ - $B_{21} = -(4 - 0) = -4$ - $B_{22} = +(16 - 0) = 16$ - $B_{23} = -(8 - 2) = -6$ - $B_{31} = +(2 - 0) = 2$ - $B_{32} = -(8 - 0) = -8$ - $B_{33} = +(12 - 0) = 12$ $$Adj(B)^T = \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix}$$ La inversa es $B^{-1} = \frac{1}{|B|} Adj(B)^T$: $$B^{-1} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $B^{-1} = \frac{1}{|B|} (Adj(B))^T$.

Despejamos $X$ multiplicando por $B^{-1}$ por la izquierda: $$X = B^{-1} \cdot A = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto: $$X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 16+0+4 & 8-4+4 & 0-8+4 \\ 8+0-16 & 4+16-16 & 0+32-16 \\ -12+0+24 & -6-6+24 & 0-12+24 \end{pmatrix} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 20 & 8 & -4 \\ -8 & 4 & 16 \\ 12 & 12 & 12 \end{pmatrix}$$ Simplificando: ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}}$$

De la segunda ecuación del sistema original: $X - Y = I_3$, despejamos $Y$: $$Y = X - I_3$$ $$Y = \begin{pmatrix} 5/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/9 - 1 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 - 1 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 - 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -4/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & -8/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.75 puntos) Halle el rango de las matrices $A + I_3$ y $A - I_3$. ¿Son matrices invertibles?** Calculamos $M = A + I_3$: $$M = \begin{pmatrix} 2+1 & 1 & 0 \\ 0 & 1+1 & 2 \\ 2 & 2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|M| = |(3 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 2 \cdot 2) + 0| - |0 + (3 \cdot 2 \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 3)| = (18 + 4) - 12 = 22 - 12 = 10$$ Como $|M| = 10 \neq 0$, el **rango de (A + I₃) es 3** y la matriz **es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. En tal caso, su rango coincide con su orden.

Calculamos $N = A - I_3$: $$N = \begin{pmatrix} 2-1 & 1 & 0 \\ 0 & 1-1 & 2 \\ 2 & 2 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|N| = |(1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 2) + 0| - |0 + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 2)| = 4 - 4 = 0$$ Como $|N| = 0$, el rango no es 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$$ Por tanto, el **rango de (A - I₃) es 2** y la matriz **no es invertible**. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\text{rg}(A+I_3)=3 \text{ (Invertible)}; \quad \text{rg}(A-I_3)=2 \text{ (No invertible)}}$$