Optimización de la producción de menús (Programación lineal)

**Determine cuántos menús de cada tipo deben elaborarse semanalmente para maximizar el beneficio total y a cuánto asciende este beneficio.** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de menús tipo **premium** a producir semanalmente. - $y$: número de menús tipo **estándar** a producir semanalmente. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por cada menú premium es de $10.50 \text{ €}$ y por cada menú estándar es de $5.50 \text{ €}$. Por tanto, la función objetivo $B(x, y)$ es: $$B(x, y) = 10.50x + 5.50y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente las variables es el primer paso crítico en cualquier problema de programación lineal.

A continuación, traducimos las limitaciones de recursos (cocina, empaquetado y almacenamiento) en desigualdades matemáticas: 1. **Horas de cocina:** El menú premium requiere $2$ h y el estándar $3$ h. El total no puede superar las $58$ h. $$2x + 3y \le 58$$ 2. **Horas de empaquetado:** El menú premium requiere $2$ h y el estándar $1$ h. El total no puede superar las $50$ h. $$2x + y \le 50$$ 3. **Almacenamiento:** El menú premium ocupa $1 \text{ dm}^3$ y el estándar $4 \text{ dm}^3$. El total no puede superar los $60 \text{ dm}^3$. $$x + 4y \le 60$$ 4. **No negatividad:** Como no se pueden producir menús negativos: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca las restricciones de no negatividad $x, y \ge 0$, ya que delimitan el problema al primer cuadrante.

La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones anteriores. Para hallarla, calculamos los puntos de corte de las rectas asociadas: - **Cruce de Cocina ($r_1$) y Empaquetado ($r_2$):** $$\begin{cases} 2x + 3y = 58 \\ 2x + y = 50 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(2x - 2x) + (3y - y) = 58 - 50 \implies 2y = 8 \implies y = 4$. Sustituyendo en $r_2$: $2x + 4 = 50 \implies 2x = 46 \implies x = 23$. Punto: $C(23, 4)$. - **Cruce de Cocina ($r_1$) y Almacenamiento ($r_3$):** $$\begin{cases} 2x + 3y = 58 \\ x + 4y = 60 \implies x = 60 - 4y \end{cases}$$ Sustituimos en la primera: $2(60 - 4y) + 3y = 58 \implies 120 - 8y + 3y = 58 \implies -5y = -62 \implies y = 12.4$. $x = 60 - 4(12.4) = 10.4$. Punto: $D(10.4, 12.4)$. - **Cruce de Empaquetado ($r_2$) y Almacenamiento ($r_3$):** $$\begin{cases} 2x + y = 50 \\ x + 4y = 60 \implies x = 60 - 4y \end{cases}$$ Sustituimos: $2(60 - 4y) + y = 50 \implies 120 - 8y + y = 50 \implies 70 = 7y \implies y = 10, x = 20$. Este punto $(20, 10)$ no cumple la restricción de cocina ($2(20)+3(10)=70 > 58$), por lo que queda fuera de la región. - **Puntos sobre los ejes:** - Con el eje $X$ ($y=0$): $2x=50 \implies x=25$. Punto $B(25, 0)$. (Cumple todas). - Con el eje $Y$ ($x=0$): $4y=60 \implies y=15$. Punto $E(0, 15)$. (Cumple todas). - El origen: $A(0, 0)$. Los vértices de la región factible son: $A(0, 0)$, $B(25, 0)$, $C(23, 4)$, $D(10.4, 12.4)$ y $E(0, 15)$.

Para maximizar el beneficio, evaluamos la función $B(x, y) = 10.50x + 5.50y$ en cada uno de los vértices hallados: 1. En $A(0, 0)$: $B(0, 0) = 10.50(0) + 5.50(0) = 0 \text{ €}$ 2. En $B(25, 0)$: $B(25, 0) = 10.50(25) + 5.50(0) = 262.50 \text{ €}$ 3. En $C(23, 4)$: $B(23, 4) = 10.50(23) + 5.50(4) = 241.50 + 22 = 263.50 \text{ €}$ 4. En $D(10.4, 12.4)$: $B(10.4, 12.4) = 10.50(10.4) + 5.50(12.4) = 109.20 + 68.20 = 177.40 \text{ €}$ 5. En $E(0, 15)$: $B(0, 15) = 10.50(0) + 5.50(15) = 82.50 \text{ €}$ Comparando los resultados, observamos que el valor máximo se alcanza en el punto **$(23, 4)$**. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el óptimo siempre se encuentra en un vértice o en un segmento de la frontera de la región factible.

Para maximizar el beneficio semanal, la empresa debe elaborar **23 menús premium** y **4 menús estándar**. El beneficio total máximo asciende a: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{23 menús premium, 4 menús estándar. Beneficio: 263.50 €}}$$