Continuidad con parámetros y cálculo de áreas

**a) (1.2 puntos) Se considera la función $f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x+1} & x \leq -1 \\ x^2 - 2 & -1 < x < 2 \\ b \cdot \log(12 - x) & 2 \leq x < 12 \end{cases}$ siendo $a$ y $b$ números reales. Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua en su dominio.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debe serlo en los puntos donde cambia la definición de la rama, es decir, en $x = -1$ y en $x = 2$. En el resto de intervalos, las funciones son continuas por ser exponenciales, polinómicas o logarítmicas (dentro de su dominio de definición). Para que $f$ sea continua en un punto $x = c$, se debe cumplir: 1. Existe $f(c)$. 2. Existe el límite $\lim_{x \to c} f(x)$, lo que implica que los límites laterales deben ser iguales: $$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$$ 3. El valor del límite coincide con el valor de la función: $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$. 💡 **Tip:** En las funciones a trozos de Bachillerato, la continuidad suele reducirse a igualar los límites laterales en los puntos de "salto" entre ramas.

Estudiamos el límite en el primer salto, $x = -1$: - Límite por la izquierda ($x \to -1^-$): $$\lim_{x \to -1^-} a \cdot e^{x+1} = a \cdot e^{-1+1} = a \cdot e^0 = a \cdot 1 = a$$ - Límite por la derecha ($x \to -1^+$): $$\lim_{x \to -1^+} (x^2 - 2) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$$ - Valor de la función: $$f(-1) = a$$ Para que sea continua en $x = -1$, igualamos los límites: $$a = -1$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = -1}$$

Estudiamos el límite en el segundo salto, $x = 2$: - Límite por la izquierda ($x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$$ - Límite por la derecha ($x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} b \cdot \log(12 - x) = b \cdot \log(12 - 2) = b \cdot \log(10)$$ - Valor de la función: $$f(2) = b \cdot \log(10)$$ Para que sea continua en $x = 2$, igualamos los límites: $$b \cdot \log(10) = 2$$ Si consideramos que $\log$ es el logaritmo decimal (base 10), entonces $\log(10) = 1$, por lo que $b = 2$. Si fuera logaritmo neperiano, $b = 2/\ln(10)$. Siguiendo la notación estándar de Bachillerato: $$b = \frac{2}{\log(10)}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = -1, \quad b = \frac{2}{\log(10)}} \text{ (Si la base es 10, } b = 2 \text{)}$$

**b) (1.3 puntos) Represente el recinto acotado, limitado por la recta $y = -x + 3$ y la parábola $y = -x^2 + 5$. Calcule el área del recinto.** Primero, buscamos los puntos de corte entre la recta $f(x) = -x + 3$ y la parábola $g(x) = -x^2 + 5$ igualando ambas expresiones: $$-x + 3 = -x^2 + 5$$ Reordenamos para formar una ecuación de segundo grado: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$ Los límites de integración para el área serán **$x = -1$** y **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen los límites del intervalo donde vamos a integrar.

Para saber qué función va por encima en el intervalo $(-1, 2)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: - Recta: $y = -0 + 3 = 3$ - Parábola: $y = -0^2 + 5 = 5$ Como $5 > 3$, la **parábola está por encima de la recta** en este recinto. Representación gráfica del recinto:

El área se calcula como la integral definida de la función superior menos la inferior entre los puntos de corte: $$A = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 5) - (-x + 3)] \, dx$$ Simplificamos la expresión de dentro: $$A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]$$ Aplicamos la Regla de Barrow entre $-1$ y $2$: $$A = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$$ $$A = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) - \left( \frac{2 + 3 - 12}{6} \right)$$ $$A = \left( \frac{-8 + 18}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)$$ $$A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ u}^2}$$