Nivel de concentración de un alumno. Continuidad y derivabilidad

**a) (1.25 puntos) ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua y derivable en $t = 2.5$.** El nivel de concentración con el que el alumno comienza el examen corresponde al instante de tiempo $t = 0$. Debemos evaluar la función en la primera rama, ya que el dominio para esa expresión es $0 \leq t \leq 2.5$: $$f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 10 = 10.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El alumno comienza el examen con un nivel de 10}}$$

Para que la función sea continua en $t = 2.5$, se debe cumplir que el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en ese punto coincidan: $$\lim_{t \to 2.5^-} f(t) = \lim_{t \to 2.5^+} f(t) = f(2.5)$$ Calculamos los límites laterales: - Por la izquierda ($t \to 2.5^-$): $$\lim_{t \to 2.5^-} (-t^2 + 2t + 10) = -(2.5)^2 + 2(2.5) + 10 = -6.25 + 5 + 10 = 8.75.$$ - Por la derecha ($t \to 2.5^+$): $$\lim_{t \to 2.5^+} (t^2 + at + b) = (2.5)^2 + a(2.5) + b = 6.25 + 2.5a + b.$$ Igualamos ambos resultados para asegurar la continuidad: $$6.25 + 2.5a + b = 8.75 \implies 2.5a + b = 2.5 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si no presenta saltos. En funciones a trozos, esto obliga a que las ramas "encajen" en el punto de cambio.

Primero, calculamos la derivada de la función en cada rama (exceptuando el punto conflictivo por ahora): $$f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & 0 < t < 2.5 \\ 2t + a & 2.5 < t < 5 \end{cases}$$ Para que la función sea derivable en $t = 2.5$, las derivadas laterales deben coincidir: - Derivada por la izquierda: $$f'(2.5^-) = -2(2.5) + 2 = -5 + 2 = -3.$$ - Derivada por la derecha: $$f'(2.5^+) = 2(2.5) + a = 5 + a.$$ Igualamos las derivadas: $$5 + a = -3 \implies \mathbf{a = -8}.$$ Ahora, sustituimos el valor de $a$ en la **Ecuación 1** hallada en el paso anterior: $$2.5(-8) + b = 2.5 \implies -20 + b = 2.5 \implies \mathbf{b = 22.5}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable, primero debe ser obligatoriamente continua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -8, \quad b = 22.5}$$

**b) (1.25 puntos) Para $a = -8$ y $b = 22.5$, esboce la gráfica de la función $f$, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.** Con $a = -8$ y $b = 22.5$, la función y su derivada quedan: $$f(t) = \begin{cases} -t^2 + 2t + 10 & 0 \leq t \leq 2.5 \\ t^2 - 8t + 22.5 & 2.5 < t \leq 5 \end{cases}$$ $$f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & 0 < t < 2.5 \\ 2t - 8 & 2.5 < t < 5 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos igualando $f'(t) = 0$ en cada tramo: 1. Rama 1: $-2t + 2 = 0 \implies t = 1$. 2. Rama 2: $2t - 8 = 0 \implies t = 4$. Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por estos puntos y el cambio de rama: $$\begin{array}{c|ccccccc} t & (0,1) & 1 & (1,2.5) & 2.5 & (2.5,4) & 4 & (4,5) \\ \hline f'(t) & + & 0 & - & | & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \nearrow & \text{Max} & \searrow & & \searrow & \text{Min} & \nearrow \end{array}$$ - La función es **creciente** en $(0, 1) \cup (4, 5)$. - La función es **decreciente** en $(1, 4)$.

Calculamos los valores de la función en los puntos clave para encontrar los niveles máximo y mínimo absolutos: - Inicio: $f(0) = 10$. - Máximo local en $t = 1$: $f(1) = -1^2 + 2(1) + 10 = 11$. - Punto de unión: $f(2.5) = 8.75$. - Mínimo local en $t = 4$: $f(4) = 4^2 - 8(4) + 22.5 = 16 - 32 + 22.5 = 6.5$. - Final: $f(5) = 5^2 - 8(5) + 22.5 = 25 - 40 + 22.5 = 7.5$. Comparando valores: - El **nivel máximo** es 11 y se alcanza a la **1 hora** ($t=1$). - El **nivel mínimo** es 6.5 y se alcanza a las **4 horas** ($t=4$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 11 \text{ en } t=1; \quad \text{Mínimo: } 6.5 \text{ en } t=4}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de la función de concentración a lo largo de las 5 horas de examen.