Probabilidad y Estadística 2025 Andalucia
Algoritmo de recomendación de películas
Un nuevo servicio de streaming utiliza un algoritmo para recomendar películas a sus usuarios en función de las películas vistas anteriormente. Como la plataforma es de reciente creación, solo tiene disponibles tres géneros: ciencia ficción, terror y musicales. El $62\%$ de las películas disponibles son de ciencia ficción, la cuarta parte son de terror y el resto musicales. De las películas de ciencia ficción, el algoritmo hace una recomendación correcta en el $70\%$ de las ocasiones, de las de terror, el $75\%$ de las veces y de las de musicales, el $15\%$. Un usuario selecciona al azar una película de su lista de recomendaciones:
a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?
b) (0.75 puntos) Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?
c) (0.5 puntos) De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el $55\%$ de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un árbol de probabilidad.
**Sucesos principales:**
- $SF$: La película es de ciencia ficción.
- $T$: La película es de terror.
- $M$: La película es de musicales.
- $C$: El algoritmo hace una recomendación correcta.
- $\bar{C}$: El algoritmo no hace una recomendación correcta (error).
**Probabilidades dadas:**
- $P(SF) = 0.62$ (el $62\%$).
- $P(T) = \frac{1}{4} = 0.25$ (la cuarta parte).
- $P(M) = 1 - (0.62 + 0.25) = 1 - 0.87 = 0.13$.
**Probabilidades condicionadas (éxito del algoritmo):**
- $P(C|SF) = 0.70$
- $P(C|T) = 0.75$
- $P(C|M) = 0.15$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo debe ser siempre 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de recomendación correcta
**a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?**
Para calcular la probabilidad total de que la recomendación sea correcta $P(C)$, sumamos las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso $C$ (Teorema de la Probabilidad Total):
$$P(C) = P(SF) \cdot P(C|SF) + P(T) \cdot P(C|T) + P(M) \cdot P(C|M)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(C) = 0.62 \cdot 0.70 + 0.25 \cdot 0.75 + 0.13 \cdot 0.15$$
Realizamos las operaciones:
- $0.62 \cdot 0.70 = 0.434$
- $0.25 \cdot 0.75 = 0.1875$
- $0.13 \cdot 0.15 = 0.0195$
$$P(C) = 0.434 + 0.1875 + 0.0195 = 0.641$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C) = 0.641}$$
(La probabilidad es del $64.1\%$)
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**b) (0.75 puntos) Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?**
Se nos pide la probabilidad de que sea de terror sabiendo que no ha sido recomendada correctamente, es decir, $P(T|\bar{C})$. Usamos el Teorema de Bayes:
$$P(T|\bar{C}) = \frac{P(T \cap \bar{C})}{P(\bar{C})}$$
Primero, calculamos la probabilidad de que no sea correcta $P(\bar{C})$:
$$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.641 = 0.359$$
Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (película de terror y recomendación incorrecta):
$$P(T \cap \bar{C}) = P(T) \cdot P(\bar{C}|T) = 0.25 \cdot (1 - 0.75) = 0.25 \cdot 0.25 = 0.0625$$
Finalmente, aplicamos la fórmula:
$$P(T|\bar{C}) = \frac{0.0625}{0.359} \approx 0.1741$$
💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, dividimos la probabilidad de la "rama favorable" entre la probabilidad total del suceso condicionante.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(T|\bar{C}) \approx 0.1741}$$
Paso 4
Probabilidad de la intersección de tres sucesos
**c) (0.5 puntos) De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el $55\%$ de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?**
Definimos un nuevo suceso $S$: El usuario queda satisfecho. El enunciado nos da una probabilidad condicionada:
$$P(S | SF \cap C) = 0.55$$
Buscamos la probabilidad de la intersección de los tres sucesos: $P(SF \cap C \cap S)$.
Usando la regla del producto (probabilidad compuesta):
$$P(SF \cap C \cap S) = P(SF) \cdot P(C|SF) \cdot P(S | SF \cap C)$$
Sustituimos los valores:
$$P(SF \cap C \cap S) = 0.62 \cdot 0.70 \cdot 0.55$$
Calculamos paso a paso:
- $0.62 \cdot 0.70 = 0.434$ (Probabilidad de que sea ciencia ficción y esté bien recomendada).
- $0.434 \cdot 0.55 = 0.2387$
💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran varios sucesos a la vez (intersección) es el producto de las probabilidades a lo largo de ese camino en el árbol.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(SF \cap C \cap S) = 0.2387}$$