Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.75 puntos) Elegidos al azar $30$ usuarios, se obtiene que el tiempo medio que tardan en obtener cita en Atención Primaria es de $11.3$ días. Determine un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del $97\%$. La gerencia del sistema de salud asegura que el promedio de días para obtener una cita en Atención Primaria es de $9.8$ días. Según el intervalo obtenido ¿podría asumirse la afirmación de la gerencia como posible?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$: "tiempo para conseguir una cita (en días)". Sabemos que $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 4.2$. Para la muestra dada: - Tamaño muestral: $n = 30$ - Media muestral: $\bar{x} = 11.3$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $97\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0.97$, entonces $\alpha = 0.03$, por lo que $\alpha/2 = 0.015$. 2. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. 3. En la tabla de la normal $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0.985$, el valor es $z_{\alpha/2} = 2.17$. 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $1 - \alpha$ en el centro de la distribución normal estándar. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{4.2}{\sqrt{30}}$$ $$E = 2.17 \cdot \frac{4.2}{5.4772} \approx 2.17 \cdot 0.7668 = 1.6640$$ Ahora construimos el intervalo: - Límite inferior: $11.3 - 1.6640 = 9.636$ - Límite superior: $11.3 + 1.6640 = 12.964$ 💡 **Tip:** Recuerda que a mayor nivel de confianza, mayor será el valor crítico y, por tanto, más ancho será el intervalo. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (9.636, 12.964)}$$

La gerencia afirma que la media poblacional es $\mu = 9.8$ días. Para comprobar si esta afirmación es posible según nuestro intervalo de confianza al $97\%$, debemos ver si el valor $9.8$ se encuentra dentro de dicho intervalo: Como $9.636 \lt 9.8 \lt 12.964$, el valor **está contenido** en el intervalo. Por tanto, **sí podría asumirse la afirmación de la gerencia como posible** con el nivel de confianza del $97\%$, ya que el valor propuesto es coherente con los datos muestrales obtenidos. $$\boxed{\text{Sí, es posible porque } 9.8 \in (9.636, 12.964)}$$

**b) (0.75 puntos) ¿Cuántos usuarios como mínimo se deberían seleccionar en una nueva muestra para que, con un nivel de confianza del $95\%$, el error máximo en el intervalo de la media poblacional sea de $0.6$ días.** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ - Error máximo: $E = 0.6$ - Desviación típica: $\sigma = 4.2$ Primero, buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$: 1. $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.05}{2} = 0.975$ 2. En las tablas, para $0.975$, el valor es $z_{\alpha/2} = 1.96$. La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 4.2}{0.6} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{8.232}{0.6} \right)^2 = (13.72)^2 = 188.2384$$ Como el número de usuarios debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.6$ (si $n$ aumenta, el error disminuye), redondeamos siempre al siguiente entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral mínimo, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error no supere el límite marcado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 189 \text{ usuarios}}$$