Inferencia estadística: Estimación de la proporción

**a) (1 punto) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del $96.5\%$, para estimar la proporción de personas de esta localidad que está a favor de celebrar las fiestas locales durante el mes de mayo.** Primero, extraemos los datos de la muestra proporcionados en el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 200$ - Personas a favor: $130$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{130}{200} = 0.65$$ - Proporción complementaria (en contra o no sabe): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.65 = 0.35$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el cociente entre casos favorables y el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $96.5\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.965$ 2. Calculamos $\alpha$: $\alpha = 1 - 0.965 = 0.035$ 3. Calculamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = 0.0175$ 4. Buscamos en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0175 = 0.9825$$ Buscando $0.9825$ en el interior de la tabla de la normal estándar, encontramos que corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.11}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca los límites de esa área.

El error máximo de estimación se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.11 \cdot \sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{200}} = 2.11 \cdot \sqrt{\frac{0.2275}{200}} = 2.11 \cdot \sqrt{0.0011375} \approx 2.11 \cdot 0.033727 = 0.07116$$ El intervalo de confianza es $I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.65 - 0.07116, 0.65 + 0.07116) = (0.57884, 0.72116)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.5788, 0.7212)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del $99\%$, ¿cuál es el número mínimo de personas que deberán seleccionarse aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un $2\%$?** Datos para este apartado: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.65$ y $\hat{q} = 0.35$ - Nivel de confianza: $99\% \Rightarrow 1 - \alpha = 0.99$ - Error máximo admitido ($2\%$): $E = 0.02$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $99\%$: $$1 - \alpha/2 = 1 - 0.005 = 0.995$$ Buscando en la tabla $N(0,1)$, el valor de $0.995$ está entre $2.57$ y $2.58$, solemos usar: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** "No difieran en más de un $X\%$" significa que el error máximo de estimación $E$ es igual a esa cantidad expresada en tanto por uno.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los datos: $$n = \frac{(2.575)^2 \cdot 0.65 \cdot 0.35}{0.02^2} = \frac{6.630625 \cdot 0.2275}{0.0004} = \frac{1.508467}{0.0004} = 3771.1675$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.02$, siempre debemos redondear al siguiente número entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 3772 \text{ personas}}$$

**c) (0.5 puntos) Manteniendo el tamaño de la muestra y la proporción muestral, si se aumenta el nivel de confianza, razone cómo influye en el error máximo de estimación.** Analizamos la fórmula del error máximo de estimación: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ 1. Si el nivel de confianza $(1 - \alpha)$ aumenta, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ también aumenta (ya que necesitamos abarcar un área mayor bajo la curva de la normal estándar). 2. Dado que el resto de parámetros ($n$, $\hat{p}$ y $\hat{q}$) se mantienen constantes, el error $E$ es directamente proporcional a $z_{\alpha/2}$. 3. Por tanto, si aumenta el nivel de confianza, **aumentará el error máximo de estimación**. Esto tiene sentido lógico: si queremos estar más seguros (mayor confianza) de que nuestro intervalo contiene el parámetro real, el intervalo debe ser más ancho, lo que implica un error mayor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El error máximo de estimación aumenta.}}$$