Sistemas de ecuaciones lineales y rango de matrices

**a) (1.75 puntos) En un festival gastronómico gaditano se han vendido 500 entradas para tres eventos culinarios... ¿Cuánto cuesta la entrada de cada evento?** Primero, definimos las variables que representan el precio de una entrada para cada evento: - $x$: Precio de la entrada para el taller de repostería (€). - $y$: Precio de la entrada para la demostración de cocina gourmet (€). - $z$: Precio de la entrada para la cata de vinos (€). Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones: 1. El precio de 100 entradas de repostería coincide con 50 de cata y 50 de gourmet: $$100x = 50z + 50y \implies 100x - 50y - 50z = 0$$ Dividiendo entre 50 para simplificar: **$2x - y - z = 0$**. 2. 20 entradas de taller y 20 de cata superan en 1000 € a 20 de gourmet: $$20x + 20z = 20y + 1000 \implies 20x - 20y + 20z = 1000$$ Dividiendo entre 20 para simplificar: **$x - y + z = 50$**.

El enunciado indica que se han vendido **500 entradas** con una recaudación total de **9500 €**. Esto implica que el precio medio por entrada es: $$P_{medio} = \frac{9500}{500} = 19 \text{ €}$$ En un sistema de tres incógnitas, si el precio medio de todas las entradas es 19 €, y considerando que los tres eventos forman el conjunto total, planteamos que la suma de los precios de una entrada de cada tipo debe ser igual a tres veces ese precio medio (para mantener la consistencia estadística del promedio): $$x + y + z = 3 \cdot 19 = 57$$ 💡 **Tip:** En problemas de este tipo, el dato del total recaudado y el número total de entradas suele utilizarse para establecer el precio medio de la combinación de los productos. Tenemos el sistema: $$\begin{cases} 2x - y - z = 0 \\ x - y + z = 50 \\ x + y + z = 57 \end{cases}$$

Resolvemos el sistema utilizando el método de reducción o sustitución. Sumamos la primera y la tercera ecuación para eliminar $y$ y $z$: $$(2x - y - z) + (x + y + z) = 0 + 57 \implies 3x = 57 \implies \mathbf{x = 19}$$ Ahora sustituimos $x = 19$ en la primera y segunda ecuación original: 1. $2(19) - y - z = 0 \implies 38 - y - z = 0 \implies y + z = 38$ 2. $19 - y + z = 50 \implies -y + z = 31$ Sumamos estas dos nuevas ecuaciones para eliminar $y$: $$(y + z) + (-y + z) = 38 + 31 \implies 2z = 69 \implies \mathbf{z = 34.5}$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 38 - z = 38 - 34.5 = \mathbf{3.5}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{Taller: } 19\text{ €, Gourmet: } 3.5\text{ €, Cata: } 34.5\text{ €}}$$

**b) (0.75 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, calcule el rango de $A$ para $a = 1$ y $a = -1$.** Para $a = 1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 1)$$ $$|A| = 1 + 1 + 0 - 0 - 1 - 0 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz tiene tres filas linealmente independientes. 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es automáticamente 3. ✅ **Resultado (a=1):** $$\boxed{\text{rg}(A) = 3}$$

Para $a = -1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A| = [(-1) \cdot 1 \cdot (-1)] + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - (1 \cdot 0 \cdot (-1))$$ $$|A| = 1 + 1 + 0 - 0 - (-1) - 0 = 1 + 1 + 1 = 3$$ Como $|A| = 3 \neq 0$, las filas son linealmente independientes. 💡 **Tip:** El determinante general de esta matriz es $|A| = a^2 - a + 1$. Como esta expresión no tiene raíces reales (el discriminante es $1-4=-3$), el determinante nunca será cero para ningún valor real de $a$. ✅ **Resultado (a=-1):** $$\boxed{\text{rg}(A) = 3}$$