Optimización de ingresos en servicio técnico

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de lavadoras a revisar. - $y$: número de frigoríficos a revisar. El objetivo es maximizar el ingreso total. Sabemos que se pagan $20$ € por cada hora de trabajo. Calculamos el ingreso por cada unidad: - **Lavadora:** tarda $30$ min ($0.5$ horas). Ingreso $= 0.5 \text{ h} \cdot 20 \text{ €/h} = 10$ €. - **Frigorífico:** tarda $45$ min ($0.75$ horas). Ingreso $= 0.75 \text{ h} \cdot 20 \text{ €/h} = 15$ €. La función objetivo a maximizar es: $$I(x, y) = 10x + 15y$$ 💡 **Tip:** Es fundamental pasar todos los tiempos a la misma unidad (horas) para que coincidan con el precio del servicio ($20$ €/hora).

A continuación, traducimos las limitaciones del enunciado en inecuaciones matemáticas: 1. **Tiempo disponible:** El total de horas no puede superar las $45$ horas y $30$ minutos ($45.5$ horas). $$0.5x + 0.75y \le 45.5$$ Para trabajar con números más sencillos, podemos multiplicar por $4$ toda la inecuación: $$2x + 3y \le 182$$ 2. **Límite de lavadoras:** No se aceptan más de $60$. $$x \le 60$$ 3. **Límite de frigoríficos:** No se aceptan más de $40$. $$y \le 40$$ 4. **No negatividad:** Las cantidades no pueden ser negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} 2x + 3y \le 182 \\ x \le 60 \\ y \le 40 \\ x \ge 0, \ y \ge 0 \end{cases}$$

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar el recinto de puntos que cumplen todas las condiciones: - $r_1: 2x + 3y = 182$. Si $x=0, y=60.67$. Si $y=0, x=91$. - $r_2: x = 60$ (recta vertical). - $r_3: y = 40$ (recta horizontal). La región factible es el polígono formado por la intersección de estos semiplanos.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región: - **Punto A (Origen):** $(0, 0)$. - **Punto B:** Intersección de $y=0$ y $x=60 \implies \mathbf{B(60, 0)}$. - **Punto C:** Intersección de $x=60$ y $2x + 3y = 182$. $2(60) + 3y = 182 \implies 120 + 3y = 182 \implies 3y = 62 \implies y = 20.67$. $\mathbf{C(60, 20.67)}$. - **Punto D:** Intersección de $y=40$ y $2x + 3y = 182$. $2x + 3(40) = 182 \implies 2x + 120 = 182 \implies 2x = 62 \implies x = 31$. $\mathbf{D(31, 40)}$. - **Punto E:** Intersección de $x=0$ y $y=40 \implies \mathbf{E(0, 40)}$. 💡 **Tip:** Si el problema requiere soluciones enteras (como es el caso de electrodomésticos), debemos fijarnos especialmente en los vértices con coordenadas enteras o puntos cercanos dentro de la región.

Evaluamos $I(x, y) = 10x + 15y$ en cada vértice para encontrar el máximo ingreso: - $I(A) = 10(0) + 15(0) = 0$ € - $I(B) = 10(60) + 15(0) = 600$ € - $I(C) = 10(60) + 15(20.67) = 600 + 310 = 910$ € (Nota: $20.67$ no es entero) - $I(D) = 10(31) + 15(40) = 310 + 600 = 910$ € - $I(E) = 10(0) + 15(40) = 600$ € Observamos que el ingreso máximo es de **$910$ €**. Este valor se alcanza en todos los puntos del segmento que une $D$ y $C$ (ya que la función objetivo es paralela a esa restricción). Sin embargo, como buscamos números enteros de electrodomésticos, la solución más clara es el vértice **$D(31, 40)$**. 💡 **Tip:** Cuando la función objetivo tiene la misma pendiente que una de las restricciones ($2x+3y$ es proporcional a $10x+15y$), existen infinitas soluciones a lo largo de ese lado del polígono.

Para maximizar el ingreso, el servicio técnico debe revisar: - **$31$ lavadoras** - **$40$ frigoríficos** (También serían válidas otras combinaciones enteras sobre la recta $2x + 3y = 182$ como $34$ lavadoras y $38$ frigoríficos, etc., que sumen el tiempo máximo). El ingreso máximo asciende a: $$\boxed{910 \text{ €}}$$