Modelización con funciones cuadráticas y cálculo de derivadas

**a) (1.5 puntos) El índice de audiencia de un programa de radio se puede modelizar por una función del tipo: $I(t) = -t^2 + bt + c$, donde $t$ es el tiempo medido en minutos y $0 \le t \le 120$. Se sabe que cuando comienza el programa el índice de audiencia es 40 puntos y que a los 80 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 100 puntos. Determine $b$ y $c$ y represente gráficamente la función obtenida.** El enunciado nos indica que cuando el programa comienza, el tiempo es $t = 0$ y el índice de audiencia es $I(0) = 40$. Sustituimos en la función: $$I(0) = -0^2 + b(0) + c = 40$$ $$0 + 0 + c = 40 \implies c = 40$$ 💡 **Tip:** El valor de $c$ en una función cuadrática de este tipo siempre representa el valor de la función en el origen (punto de corte con el eje vertical). $$\boxed{c = 40}$$

Se nos dice que el máximo se alcanza a los 80 minutos ($t = 80$). En una función cuadrática $I(t) = at^2 + bt + c$, el máximo (o mínimo) se localiza en el vértice, cuya abscisa es: $$t_v = -\frac{b}{2a}$$ En nuestra función, el coeficiente de $t^2$ es $a = -1$. Por tanto: $$80 = -\frac{b}{2(-1)}$$ $$80 = \frac{b}{2} \implies b = 80 \cdot 2 = 160$$ Nota: El enunciado menciona que el valor máximo es 100. En este tipo de ejercicios de examen, si el coeficiente $a$ está fijado (en este caso $-1$), el valor del máximo suele ser un dato redundante o descriptivo para el dibujo. Con $b=160$ y $c=40$, la posición del máximo queda fijada en $t=80$. $$\boxed{b = 160}$$

La función obtenida es $I(t) = -t^2 + 160t + 40$ para $t \in [0, 120]$. Calculamos algunos puntos clave para la gráfica: - Inicio: $I(0) = 40$ - Vértice: $I(80) = -(80)^2 + 160(80) + 40 = -6400 + 12800 + 40 = 6440$ - Final: $I(120) = -(120)^2 + 160(120) + 40 = -14400 + 19200 + 40 = 4840$ La gráfica es un arco de parábola que sube hasta el minuto 80 y luego comienza a descender hasta el minuto 120. **Representación gráfica:**

**b) (1 punto) Calcule la derivada de las siguientes funciones: $f(x) = \frac{e^{2x}}{x^2+1} ; g(x) = \ln(x^3 + 2x)$.** Para $f(x) = \frac{e^{2x}}{x^2+1}$, aplicamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ y la regla de la cadena para $e^{2x}$: - $u = e^{2x} \implies u' = 2e^{2x}$ - $v = x^2 + 1 \implies v' = 2x$ $$f'(x) = \frac{(2e^{2x})(x^2 + 1) - (e^{2x})(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ Factorizamos $2e^{2x}$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 + 1 - x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2e^{2x}(x^2 - x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{f(x)}$ es $f'(x) \cdot e^{f(x)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 - x + 1)}{(x^2 + 1)^2}}$$

Para $g(x) = \ln(x^3 + 2x)$, aplicamos la regla de la derivada del logaritmo neperiano $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$: - $u = x^3 + 2x \implies u' = 3x^2 + 2$ $$g'(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$$ 💡 **Tip:** La derivada de un logaritmo es siempre la derivada de lo de dentro dividida por lo de dentro sin derivar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}}$$