Probabilidad y cosmética natural

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales: - $M$: La persona seleccionada es mujer. - $H$: La persona seleccionada es hombre. - $N$: La persona utiliza cosmética natural. - $\bar{N}$: La persona no utiliza cosmética natural. Organizamos la información de las 500 personas en una **tabla de contingencia**: 1. **Mujeres ($M$):** $60\% \text{ de } 500 = 0.60 \cdot 500 = 300$. 2. **Hombres ($H$):** $500 - 300 = 200$. 3. **Mujeres que usan cosmética natural ($M \cap N$):** $40\% \text{ de las mujeres} = 0.40 \cdot 300 = 120$. 4. **Mujeres que no usan ($M \cap \bar{N}$):** $300 - 120 = 180$. 5. **Hombres que no usan cosmética natural ($H \cap \bar{N}$):** $20\% \text{ del total} = 0.20 \cdot 500 = 100$. 6. **Hombres que usan ($H \cap N$):** $200 - 100 = 100$. **Tabla de frecuencias:** $$\begin{array}{l|c|c|c} & N & \bar{N} & \text{Total} \\\hline M & 120 & 180 & 300 \\\hline H & 100 & 100 & 200 \\\hline \text{Total} & 220 & 280 & 500 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas con cantidades totales (como 500 personas), suele ser más sencillo trabajar con una tabla de contingencia que con un árbol de probabilidad.

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.** Buscamos la probabilidad de la unión de sucesos: $P(M \cup N)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \cap N)$$ Calculamos cada término a partir de la tabla: - $P(M) = \dfrac{300}{500} = 0.6$ - $P(N) = \dfrac{220}{500} = 0.44$ - $P(M \cap N) = \dfrac{120}{500} = 0.24$ Sustituimos: $$P(M \cup N) = 0.6 + 0.44 - 0.24 = 0.8$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cup N) = 0.8}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.** Buscamos la probabilidad de la intersección: $P(H \cap N)$. Directamente de nuestra tabla de frecuencias, sabemos que hay 100 hombres que utilizan cosmética natural del total de 500 personas: $$P(H \cap N) = \dfrac{100}{500} = 0.2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H \cap N) = 0.2}$$

**c) (0.75 puntos) Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.** Se trata de una probabilidad condicionada: $P(H | \bar{N})$. Aplicamos la definición: $$P(H | \bar{N}) = \dfrac{P(H \cap \bar{N})}{P(\bar{N})}$$ Consultamos los valores en la tabla: - Casos de hombres que no usan natural: $100$. - Total de personas que no usan natural: $280$. $$P(H | \bar{N}) = \dfrac{100/500}{280/500} = \dfrac{100}{280} = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14} \approx 0.3571$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ restringe el espacio muestral al suceso $B$. En este caso, solo miramos la columna de $\bar{N}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H | \bar{N}) = \dfrac{5}{14} \approx 0.3571}$$

**d) (0.5 puntos) ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?** 1. **Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, $P(N \cap M) = 0$. Como $P(N \cap M) = 0.24 \neq 0$, los sucesos **no son incompatibles** (existen mujeres que usan cosmética natural). 2. **Independencia:** Dos sucesos son independientes si $P(N \cap M) = P(N) \cdot P(M)$. - Sabemos que $P(N \cap M) = 0.24$. - Calculamos el producto de sus probabilidades individuales: $$P(N) \cdot P(M) = 0.44 \cdot 0.6 = 0.264$$ Como $0.24 \neq 0.264$, los sucesos **no son independientes** (ser mujer influye en la probabilidad de usar cosmética natural). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son incompatibles y no son independientes}}$$