Distribución Binomial: Tratamiento de intolerancia alimentaria

**a) (0.75 puntos) Indique la distribución que sigue la variable “número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento”. ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de pacientes que mejoran de entre los 5 seleccionados". Se trata de un experimento de Bernoulli donde cada paciente es independiente y solo hay dos resultados posibles: mejorar (éxito) o no mejorar (fracaso). - Probabilidad de éxito: $p = 0.6$ (el 60%). - Probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 0.4$. - Número de ensayos: $n = 5$. Por tanto, la variable sigue una **distribución Binomial**: $$\boxed{X \sim B(5; \, 0.6)}$$ Para calcular la probabilidad de que mejoren exactamente 4 pacientes ($k=4$), usamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituimos los valores: $$P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^{5-4}$$ $$P(X = 4) = 5 \cdot 0.1296 \cdot 0.4 = 0.2592$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{5}{4}$ es igual a 5. Recuerda que $\binom{n}{n-1} = n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=4) = 0.2592}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.** Nos piden calcular $P(X \ge 2)$. Esto equivale a sumar las probabilidades de que mejoren 2, 3, 4 o 5 pacientes: $$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$ Es más sencillo calcularlo mediante el **suceso contrario**: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X \lt 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Calculamos cada una: 1. $P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.01024 = 0.01024$ 2. $P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^4 = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.0256 = 0.0768$ Ahora sumamos y restamos de 1: $$P(X \ge 2) = 1 - (0.01024 + 0.0768) = 1 - 0.08704 = 0.91296$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan "al menos...", comprueba si es más corto resolverlo por el complementario para ahorrar cálculos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.91296}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?** El "número esperado" de pacientes es la media o esperanza matemática de la distribución binomial. La fórmula de la esperanza para una $B(n, p)$ es: $$E[X] = \mu = n \cdot p$$ En nuestro caso, con $n = 5$ y $p = 0.6$: $$E[X] = 5 \cdot 0.6 = 3$$ Esto significa que, en promedio, se espera que 3 de cada 5 pacientes mejoren con el tratamiento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{E[X] = 3 \text{ pacientes}}$$

**d) (0.5 puntos) ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?** En este apartado, el tamaño de la muestra $n$ es desconocido, pero sabemos que la probabilidad de éxito sigue siendo $p = 0.6$. Queremos que la esperanza $E[X] = n \cdot p$ cumpla la condición: $$n \cdot p \ge 12$$ Sustituimos $p = 0.6$ y despejamos $n$: $$n \cdot 0.6 \ge 12$$ $$n \ge \frac{12}{0.6}$$ $$n \ge 20$$ Por tanto, deben someterse al menos 20 pacientes para que el número esperado de mejorías sea como mínimo 12. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 20 \text{ pacientes}}$$