Estimación de proporciones de fresas y frambuesas

**a) (1.5 puntos) Obtenga, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.** Primero, identificamos los datos de nuestra muestra de tamaño $n = 400$ kg: - Fresas: $240$ kg $\implies \hat{p}_1 = \frac{240}{400} = 0.6$ - Frambuesas: $400 - 240 = 160$ kg $\implies \hat{p}_2 = \frac{160}{400} = 0.4$ Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$ 2. $\alpha/2 = 0.025$ 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla, obtenemos: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$ es muy común en selectividad y siempre es $1.96$.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)$$ Para las **fresas** ($\hat{p}_1 = 0.6$): 1. Calculamos el error máximo admisible: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{400}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{400}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0006}$$ $$E = 1.96 \cdot 0.024494... \approx 0.048$$ 2. Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.6 - 0.048 = 0.552$ - Límite superior: $0.6 + 0.048 = 0.648$ ✅ **Resultado (fresas):** $$\boxed{I.C_{\text{fresas}} = (0.552, 0.648)}$$

Para las **frambuesas** ($\hat{p}_2 = 0.4$): Observemos que el error será el mismo que en el caso anterior, ya que el producto $\hat{p}(1-\hat{p})$ es idéntico ($0.4 \cdot 0.6 = 0.6 \cdot 0.4$) y el tamaño de la muestra no cambia. $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{400}} = 0.048$$ 1. Calculamos los extremos: - Límite inferior: $0.4 - 0.048 = 0.352$ - Límite superior: $0.4 + 0.048 = 0.448$ ✅ **Resultado (frambuesas):** $$\boxed{I.C_{\text{frambuesas}} = (0.352, 0.448)}$$

**b) (1 punto) Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un 2%?** Se nos pide calcular el tamaño muestral $n$ para que el error $E$ sea como máximo de $0.02$ ($2\%$). Datos: - Confianza $95\% \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ - Error máximo $E = 0.02$ - Proporción muestral inicial $\hat{p} = 0.6$ (podemos usar cualquiera de las dos, ya que $0.6 \cdot 0.4 = 0.24$ en ambos casos). La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ Despejamos $n$: $$E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Siempre que busques el tamaño de la muestra, despeja $n$ de la fórmula del error y recuerda que si el resultado no es entero, debes redondear siempre al entero superior.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.6 \cdot 0.4}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.24}{0.0004}$$ $$n = \frac{0.921984}{0.0004} = 2304.96$$ Como el número de kilogramos debe ser un número entero y queremos que el error sea **a lo sumo** del $2\%$, debemos redondear al siguiente número entero para garantizar que el error no supere ese valor. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{n = 2305 \text{ kg}}$$