Álgebra 2025 Andalucia
Operaciones con matrices y determinantes
EJERCICIO 1
a) (1.75 puntos) Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial:
El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75€ por hora trabajada, 300€ por demostración y 250€ por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15% si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18% en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor.
b) (0.75 puntos) Sea $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & a - 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ ¿Para qué valores de $a$ es la matriz $A$ invertible?
Paso 1
Planteamiento matricial de los datos
**a) (1.75 puntos) Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto... determine la cantidad final que cobrará cada vendedor.**
En primer lugar, organizamos la información del enunciado en matrices. Crearemos una matriz $M$ que represente la actividad de cada vendedor (filas para vendedores A, B y C; columnas para horas, demostraciones y viajes) y un vector columna $P$ para los precios unitarios de cada concepto.
Datos de actividad:
- Vendedor A: 40 h, 10 dem., 5 viajes.
- Vendedor B: 80 h (doble que A), 15 dem., 8 viajes.
- Vendedor C: 100 h, 25 dem., 10 viajes.
$$M = \begin{pmatrix} 40 & 10 & 5 \\ 80 & 15 & 8 \\ 100 & 25 & 10 \end{pmatrix}$$
Precios por concepto (Horas: 75€, Demostraciones: 300€, Viajes: 250€):
$$P = \begin{pmatrix} 75 \\ 300 \\ 250 \end{pmatrix}$$
💡 **Tip:** Al multiplicar una matriz de $3 \times 3$ por una de $3 \times 1$, obtendremos una matriz de $3 \times 1$ que representará el total bruto para cada vendedor.
Paso 2
Cálculo de las cantidades brutas
Para obtener la cantidad bruta a abonar a cada vendedor, realizamos el producto matricial $G = M \cdot P$:
$$G = \begin{pmatrix} 40 & 10 & 5 \\ 80 & 15 & 8 \\ 100 & 25 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 75 \\ 300 \\ 250 \end{pmatrix}$$
Calculamos elemento a elemento:
- **Vendedor A:** $40 \cdot 75 + 10 \cdot 300 + 5 \cdot 250 = 3000 + 3000 + 1250 = 7250$
- **Vendedor B:** $80 \cdot 75 + 15 \cdot 300 + 8 \cdot 250 = 6000 + 4500 + 2000 = 12500$
- **Vendedor C:** $100 \cdot 75 + 25 \cdot 300 + 10 \cdot 250 = 7500 + 7500 + 2500 = 17500$
El vector de cantidades brutas es:
$$G = \begin{pmatrix} 7250 \\ 12500 \\ 17500 \end{pmatrix}$$
Paso 3
Aplicación del IRPF y resultado final
Ahora aplicamos la retención del IRPF según las condiciones:
- Si $Bruto \lt 10000$: Retención 15% $\implies$ Cobra el 85% ($0.85 \cdot Bruto$).
- Si $Bruto \ge 10000$: Retención 18% $\implies$ Cobra el 82% ($0.82 \cdot Bruto$).
1. **Vendedor A:** $7250 \lt 10000 \implies 7250 \cdot 0.85 = 6162.5€$
2. **Vendedor B:** $12500 \ge 10000 \implies 12500 \cdot 0.82 = 10250€$
3. **Vendedor C:** $17500 \ge 10000 \implies 17500 \cdot 0.82 = 14350€$
✅ **Resultado final (cantidades netas):**
$$\boxed{\text{A: } 6162.5€, \quad \text{B: } 10250€, \quad \text{C: } 14350€}$$
Paso 4
Condición de invertibilidad de una matriz
**b) (0.75 puntos) Sea $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & a - 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ ¿Para qué valores de $a$ es la matriz $A$ invertible?**
Una matriz cuadrada $A$ es invertible (tiene inversa) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$).
Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $a$.
💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es cero, la matriz es singular y no posee inversa.
Paso 5
Cálculo del determinante y resolución
Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus:
$$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & a - 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$
$$|A| = [(-2) \cdot (a-1) \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 \cdot 0] - [4 \cdot (a-1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 \cdot 2]$$
Simplificamos los términos:
$$|A| = [-6(a-1) + 16 + 0] - [4(a-1) + 0 + 18]$$
$$|A| = [-6a + 6 + 16] - [4a - 4 + 18]$$
$$|A| = (-6a + 22) - (4a + 14)$$
$$|A| = -6a + 22 - 4a - 14$$
$$|A| = -10a + 8$$
Para que la matriz sea invertible, imponemos que el determinante no sea nulo:
$$-10a + 8 \neq 0 \implies -10a \neq -8 \implies a \neq \frac{-8}{-10} \implies a \neq 0.8$$
✅ **Resultado (valores de a):**
$$\boxed{a \neq 0.8 \quad (\text{o } a \neq 4/5)}$$