Estudio del crecimiento de visualizaciones de una noticia

**a) (0.8 puntos) Estudie la monotonía y curvatura de la función $N$.** Para estudiar la monotonía (crecimiento) y la curvatura (concavidad/convexidad), necesitamos calcular la primera y segunda derivada de la función $N(t) = 500\,000 \cdot (1 - e^{-0.2t})$. **Primera derivada (Velocidad de cambio):** Utilizamos la regla de la cadena para derivar la exponencial: $$N'(t) = 500\,000 \cdot \left( 0 - e^{-0.2t} \cdot (-0.2) \right)$$ $$N'(t) = 500\,000 \cdot 0.2 \cdot e^{-0.2t}$$ $$\boxed{N'(t) = 100\,000 \cdot e^{-0.2t}}$$ **Segunda derivada (Aceleración del cambio):** Derivamos de nuevo el resultado anterior: $$N''(t) = 100\,000 \cdot e^{-0.2t} \cdot (-0.2)$$ $$\boxed{N''(t) = -20\,000 \cdot e^{-0.2t}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{f(t)}$ es $f'(t) \cdot e^{f(t)}$. En este caso, $f(t) = -0.2t$, por lo que su derivada es $-0.2$.

Analizamos ahora los signos de las derivadas obtenidas para $t \gt 0$. **Monotonía:** Sabemos que la función exponencial $e^x$ es siempre positiva para cualquier valor de $x$. Por tanto, $e^{-0.2t} \gt 0$ para todo $t$. Como $N'(t) = 100\,000 \cdot e^{-0.2t}$, entonces $N'(t) \gt 0$ para todo $t \gt 0$. Conclusión: La función es **siempre creciente** en su dominio. **Curvatura:** Como $e^{-0.2t} \gt 0$, al multiplicar por $-20\,000$, obtenemos que $N''(t) = -20\,000 \cdot e^{-0.2t} \lt 0$ para todo $t \gt 0$. Conclusión: La función es **cóncava (o cóncava hacia abajo)** en todo su dominio. Representación de signos: $$\begin{array}{c|c} t & (0, +\infty) \\ \hline N'(t) & + \\ \hline N''(t) & - \\ \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Monotonía: Creciente en } (0, +\infty). \text{ Curvatura: Cóncava en } (0, +\infty).}$$

**b) (0.7 puntos) Represente gráficamente la función $N$ y describa su tendencia a lo largo del tiempo.** Para representar la función, observamos su comportamiento en los extremos: - En $t = 0$: $N(0) = 500\,000 \cdot (1 - e^0) = 500\,000 \cdot (1 - 1) = 0$. - Cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} 500\,000 \cdot (1 - e^{-0.2t}) = 500\,000 \cdot (1 - 0) = 500\,000$$ Esto indica que existe una **asíntota horizontal** en $y = 500\,000$. **Tendencia:** Con el paso del tiempo, el número de personas que ven la noticia aumenta de forma cada vez más lenta, estabilizándose o aproximándose a un máximo de **500 000 personas**.

**c) (0.5 puntos) ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por 450 000 personas?** Igualamos la función al valor dado y despejamos $t$: $$450\,000 = 500\,000 \cdot (1 - e^{-0.2t})$$ $$\frac{450\,000}{500\,000} = 1 - e^{-0.2t}$$ $$0.9 = 1 - e^{-0.2t} \implies e^{-0.2t} = 1 - 0.9$$ $$e^{-0.2t} = 0.1$$ Para despejar el exponente, aplicamos logaritmos naturales (ln) en ambos lados: $$\ln(e^{-0.2t}) = \ln(0.1)$$ $$-0.2t = \ln(0.1)$$ $$t = \frac{\ln(0.1)}{-0.2} \approx \frac{-2.3026}{-0.2} \approx 11.51$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(e^A) = A$. Usar logaritmos es la herramienta estándar para bajar exponentes en ecuaciones con la base $e$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \approx 11.51 \text{ horas}}$$

**d) (0.5 puntos) La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es $N'(t)$. ¿Qué conclusión se obtiene al comparar $N'(t)$ en los instantes $t = 1$ y $t = 10$?** Calculamos la velocidad en ambos instantes usando $N'(t) = 100\,000 \cdot e^{-0.2t}$: 1. Para $t = 1$: $$N'(1) = 100\,000 \cdot e^{-0.2(1)} = 100\,000 \cdot e^{-0.2} \approx 100\,000 \cdot 0.8187 = 81\,873 \text{ pers/h}$$ 2. Para $t = 10$: $$N'(10) = 100\,000 \cdot e^{-0.2(10)} = 100\,000 \cdot e^{-2} \approx 100\,000 \cdot 0.1353 = 13\,533 \text{ pers/h}$$ **Conclusión:** La velocidad de difusión es mucho mayor al principio ($t=1$) que después ($t=10$). Esto confirma que la noticia se propaga muy rápido inicialmente, pero el interés decae con el tiempo, lo que es coherente con que la función sea **cóncava** ($N''(t) \lt 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{N'(1) \approx 81\,873 \text{ pers/h} \gt N'(10) \approx 13\,533 \text{ pers/h}. \text{ El impacto inicial es mucho mayor.}}$$