Monitorización de glucosa en un paciente diabético

**a) (0.75 puntos) Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando.** Para determinar cuándo aumenta el nivel de glucosa, debemos estudiar el signo de la primera derivada $f'(t)$. Primero, calculamos la derivada de la función en cada tramo: Para el primer tramo ($0 \le t < 12$): $$f'_1(t) = \frac{5}{6} \left( \frac{3t^2}{3} - 24t + 108 \right) = \frac{5}{6} (t^2 - 24t + 108)$$ Para el segundo tramo ($12 < t \le 24$): $$f'_2(t) = 2t - 40$$ La función derivada por tanto es: $$f'(t) = \begin{cases} \frac{5}{6} (t^2 - 24t + 108) & 0 \le t < 12 \\ 2t - 40 & 12 < t \le 24 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: 1. $t^2 - 24t + 108 = 0 \implies t = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2}$. Obtenemos $t=6$ y $t=18$. Solo **$t=6$** está en el intervalo $[0, 12]$. 2. $2t - 40 = 0 \implies t = \frac{40}{2} = 20$. El punto **$t=20$** está en el intervalo $(12, 24]$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función aumente, su derivada debe ser positiva ($f'(t) \gt 0$).

Analizamos el signo de $f'(t)$ en los intervalos delimitados por los puntos críticos y el cambio de rama ($t=12$): $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,6) & 6 & (6,12) & (12,20) & 20 & (20,24)\\ \hline f'(t) & + & 0 & - & - & 0 & +\\ \hline f(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0,6)$, $f'(t) \gt 0$ (crece). - En $(6,20)$, $f'(t) \lt 0$ (decrece). Nótese que en el salto entre ramas en $t=12$, $f'(12^-) = -30$ y $f'(12^+) = -16$, por lo que la función sigue decreciendo. - En $(20,24)$, $f'(t) \gt 0$ (crece). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumenta en los intervalos } [0, 6] \text{ y } [20, 24] \text{ horas.}}$$

**b) (1 punto) ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden?** Para hallar los extremos absolutos en el intervalo cerrado $[0, 24]$, evaluamos la función en los extremos del dominio y en los puntos críticos hallados: 1. En $t=0$: $f(0) = \frac{5}{6}(108) = 90$. 2. En $t=6$ (Máximo relativo): $f(6) = \frac{5}{6} (\frac{216}{3} - 12 \cdot 36 + 108 \cdot 6 + 108) = \frac{5}{6}(72 - 432 + 648 + 108) = \frac{5}{6}(396) = 330$. 3. En $t=20$ (Mínimo relativo): $f(20) = 20^2 - 40(20) + 546 = 400 - 800 + 546 = 146$. 4. En $t=24$: $f(24) = 24^2 - 40(24) + 546 = 576 - 960 + 546 = 162$. Comparando los valores: - El valor máximo es $330$ en $t=6$. - El valor mínimo es $90$ en $t=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel más alto: } 330 \, mg/dl \text{ a las 6:00 h.}} \boxed{\text{Nivel más bajo: } 90 \, mg/dl \text{ a las 0:00 h.}}$$

**c) (0.75 puntos) ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene 155 $mg/dl$?** El mediodía corresponde a $t=12$. Por lo tanto, debemos trabajar con la segunda rama de la función ($12 \lt t \le 24$). Planteamos la ecuación: $$f(t) = 155 \implies t^2 - 40t + 546 = 155$$ Restamos $155$ en ambos lados para obtener una ecuación de segundo grado: $$t^2 - 40t + 391 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$t = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 391}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1564}}{2}$$ $$t = \frac{40 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{40 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $t_1 = \frac{40 + 6}{2} = 23$ 2. $t_2 = \frac{40 - 6}{2} = 17$ Ambos valores se encuentran en el intervalo $(12, 24]$, por lo que son válidos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A las 17:00 h y a las 23:00 h.}}$$