Probabilidad en selección de llaves y llaveros

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos que intervienen: - $L_1, L_2, L_3$: Seleccionar el llavero 1, 2 o 3, respectivamente. - $A$: La llave seleccionada abre el trastero (Acierta). - $\bar{A}$: La llave seleccionada no abre el trastero (No acierta). Como el llavero se elige al azar entre tres opciones, tenemos: $$P(L_1) = P(L_2) = P(L_3) = \frac{1}{3}$$ Las probabilidades condicionadas (acertar según el llavero elegido) son: - Llavero 1: 1 llave abre de 7 totales $\implies P(A|L_1) = \frac{1}{7}, \quad P(\bar{A}|L_1) = \frac{6}{7}$ - Llavero 2: 1 llave abre de 8 totales $\implies P(A|L_2) = \frac{1}{8}, \quad P(\bar{A}|L_2) = \frac{7}{8}$ - Llavero 3: 1 llave abre de 5 totales $\implies P(A|L_3) = \frac{1}{5}, \quad P(\bar{A}|L_3) = \frac{4}{5}$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

**a) (1 punto) No haya acertado con la llave seleccionada.** Para calcular la probabilidad de no abrir el trastero ($P(\bar{A})$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{A}) = P(L_1)P(\bar{A}|L_1) + P(L_2)P(\bar{A}|L_2) + P(L_3)P(\bar{A}|L_3)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(\bar{A}) = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}\right)$$ $$P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \left( \frac{6}{7} + \frac{7}{8} + \frac{4}{5} \right)$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores ($7 \cdot 8 \cdot 5 = 280$): $$P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \left( \frac{240}{280} + \frac{245}{280} + \frac{224}{280} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{709}{280} \right) = \frac{709}{840}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (en este caso, los tres llaveros). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}) = \frac{709}{840} \approx 0.8440}$$

**b) (0.5 puntos) El llavero sea el tercero y la llave abra el trastero.** Se nos pide la probabilidad de la intersección entre elegir el llavero 3 y que la llave sea la correcta: $P(L_3 \cap A)$. Usamos la definición de probabilidad compuesta: $$P(L_3 \cap A) = P(L_3) \cdot P(A|L_3)$$ Sustituyendo: $$P(L_3 \cap A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L_3 \cap A) = \frac{1}{15} \approx 0.0667}$$

**c) (0.5 puntos) Sabiendo que la llave elegida abre el trastero, esta pertenezca al primer o al tercer llavero.** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(L_1 \cup L_3 | A)$. Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(L_1 \cup L_3 | A) = \frac{P((L_1 \cup L_3) \cap A)}{P(A)} = \frac{P(L_1 \cap A) + P(L_3 \cap A)}{P(A)}$$ Primero, calculamos $P(A)$ (suceso contrario a no abrir calculado en el apartado a): $$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{709}{840} = \frac{131}{840}$$ Calculamos los sumandos del numerador: - $P(L_1 \cap A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21} = \frac{40}{840}$ - $P(L_3 \cap A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} = \frac{56}{840}$ Sustituimos en la fórmula: $$P(L_1 \cup L_3 | A) = \frac{\frac{40}{840} + \frac{56}{840}}{\frac{131}{840}} = \frac{96}{131}$$ 💡 **Tip:** Cuando veas la expresión "sabiendo que...", identifica ese suceso como la condición que divide en la fórmula de Bayes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L_1 \cup L_3 | A) = \frac{96}{131} \approx 0.7328}$$

**d) (0.5 puntos) Si la llave no abre el trastero, esta no pertenezca al primer llavero.** Buscamos $P(\bar{L_1} | \bar{A})$. Nótese que $\bar{L_1}$ es equivalente a que sea el llavero 2 o el 3 ($L_2 \cup L_3$). $$P(\bar{L_1} | \bar{A}) = \frac{P(\bar{L_1} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} = \frac{P(L_2 \cap \bar{A}) + P(L_3 \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$$ Ya conocemos $P(\bar{A}) = \frac{709}{840}$. Calculamos el numerador: - $P(L_2 \cap \bar{A}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{24} = \frac{245}{840}$ - $P(L_3 \cap \bar{A}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{15} = \frac{224}{840}$ Sumamos: $$P(\bar{L_1} \cap \bar{A}) = \frac{245+224}{840} = \frac{469}{840}$$ Finalmente: $$P(\bar{L_1} | \bar{A}) = \frac{\frac{469}{840}}{\frac{709}{840}} = \frac{469}{709}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{L_1} | \bar{A}) = \frac{469}{709} \approx 0.6615}$$