Distribución binomial: campaña de marketing de energía solar

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio.** Primero, identificamos el tipo de experimento. Se trata de una **distribución Binomial**, ya que tenemos: - Un número fijo de ensayos o personas: $n = 20$. - Cada persona tiene dos opciones: contrata (éxito) o no contrata (fracaso). - La probabilidad de éxito es constante: $p = 0.2$ (el 20%). Por tanto, la probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0.8$. Definimos la variable aleatoria $X = \text{número de personas que contratan el servicio de entre las 20 seleccionadas}$. $$X \sim B(20, 0.2)$$ La fórmula de la probabilidad binomial para obtener exactamente $k$ éxitos es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para $k = 10$: $$P(X = 10) = \binom{20}{10} \cdot 0.2^{10} \cdot 0.8^{10}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{20}{10} = \frac{20!}{10! \cdot 10!} = 184756$$ Sustituimos y resolvemos: $$P(X = 10) = 184756 \cdot (0.2)^{10} \cdot (0.8)^{10} \approx 184756 \cdot 1.024 \cdot 10^{-7} \cdot 0.107374 \approx 0.00203$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. En distribuciones binomiales con $n$ grande y un valor de $k$ alejado de la media, la probabilidad suele ser muy baja. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 10) \approx 0.0020}$$

**b) (0.75 puntos) Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio.** Nos piden calcular $P(X \ge 2)$. Esto equivale a sumar las probabilidades de que contraten 2, 3, 4... hasta 20 personas. Es mucho más sencillo utilizar el **suceso contrario**: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$$ Calculamos cada una por separado: 1. Para $k = 0$: $$P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0.2^0 \cdot 0.8^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.8^{20} \approx 0.0115$$ 2. Para $k = 1$: $$P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0.2^1 \cdot 0.8^{19} = 20 \cdot 0.2 \cdot 0.8^{19} \approx 0.0576$$ Sumamos ambas: $$P(X < 2) = 0.0115 + 0.0576 = 0.0691$$ Finalmente: $$P(X \ge 2) = 1 - 0.0691 = 0.9309$$ 💡 **Tip:** Cuando el enunciado dice "al menos", suele ser una pista para usar el suceso complementario $1 - P(\dots)$ y así trabajar con menos términos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) \approx 0.9309}$$

**c) (0.5 puntos) Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas.** El valor esperado o esperanza matemática ($E[X]$) en una distribución binomial representa la media de éxitos que esperaríamos obtener en el experimento. La fórmula para una $B(n, p)$ es: $$E[X] = n \cdot p$$ Sustituimos los valores de nuestro problema: - $n = 20$ - $p = 0.2$ $$E[X] = 20 \cdot 0.2 = 4$$ Esto significa que, de media, esperamos que 4 personas de cada 20 contraten el servicio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{E[X] = 4 \text{ personas}}$$

**d) (0.5 puntos) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13?** En este apartado, la incógnita es el número de personas seleccionadas ($n$), mientras que la probabilidad de éxito se mantiene constante ($p = 0.2$). Planteamos la condición utilizando la fórmula de la esperanza: $$E[X] \ge 13$$ $$n \cdot p \ge 13$$ Sustituimos $p = 0.2$: $$n \cdot 0.2 \ge 13$$ Despejamos $n$: $$n \ge \frac{13}{0.2}$$ $$n \ge 65$$ Por tanto, se deben seleccionar al menos 65 personas. 💡 **Tip:** Al despejar en una inecuación, si divides por un número positivo (como 0.2), el sentido de la desigualdad se mantiene. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 65 \text{ personas}}$$