Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media

**a) (0.5 puntos) Obtenga el tiempo medio de estudio de esa muestra de estudiantes.** En un intervalo de confianza para la media de una distribución Normal, la media muestral $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el centro del intervalo. Por tanto, podemos calcularla como el valor medio de los extremos del intervalo dado $(10.794, 13.206)$: $$\bar{x} = \frac{10.794 + 13.206}{2}$$ Sumamos los valores: $$10.794 + 13.206 = 24.000$$ Dividimos por 2: $$\bar{x} = \frac{24}{2} = 12$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible. Por eso, $\bar{x}$ es siempre el punto medio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 12 \text{ horas}}$$

**b) (0.5 puntos) Si se amplía el tamaño de la muestra, razone si manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza aumenta o disminuye.** La amplitud de un intervalo de confianza es igual a dos veces el error máximo ($A = 2E$). La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Donde: - $z_{\alpha/2}$ depende del nivel de confianza. - $\sigma$ es la desviación típica. - $n$ es el tamaño de la muestra. Si mantenemos el nivel de confianza ($z_{\alpha/2}$ constante) y aumentamos el tamaño de la muestra $n$, el denominador $\sqrt{n}$ se hace mayor. Al dividir por un número más grande, el valor de $E$ disminuye. Como la amplitud es $2E$, si $E$ disminuye, la amplitud también lo hace. 💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra, mayor precisión tenemos sobre la estimación, lo que se traduce en un intervalo más estrecho (menor amplitud). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La amplitud disminuye}}$$

**c) (0.75 puntos) Si se desea reducir la amplitud del intervalo de confianza, razone si manteniendo el tamaño muestral, ha de reducirse o aumentarse el nivel de confianza.** Partimos de nuevo de la fórmula de la amplitud: $A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Si el tamaño muestral $n$ y la desviación típica $\sigma$ son constantes, la amplitud depende exclusivamente del valor crítico $z_{\alpha/2}$. - Para **reducir** la amplitud, necesitamos que $z_{\alpha/2}$ sea **menor**. - El valor de $z_{\alpha/2}$ está directamente relacionado con el nivel de confianza ($1-\alpha$). Si el área encerrada bajo la curva normal es menor, el valor de $z$ en el eje horizontal también es menor. Por tanto, para reducir la amplitud, debemos **reducir el nivel de confianza**. 💡 **Tip:** Si quieres estar "muy seguro" (nivel de confianza alto), el intervalo debe ser más ancho para no fallar. Si te conformas con estar "menos seguro", el intervalo puede ser más estrecho. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Ha de reducirse el nivel de confianza}}$$

**d) (0.75 puntos) Si la media de la población es de 10.2 horas y sabiendo que la media muestral es de 12 horas, calcule el tamaño máximo de la muestra para obtener un intervalo de confianza que contenga la media poblacional, manteniendo el 97% de confianza.** Para que el intervalo $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$ contenga a la media poblacional $\mu$, debe cumplirse que la distancia entre la media muestral y la poblacional sea menor o igual al error máximo: $$|\bar{x} - \mu| \le E$$ Sustituimos los datos conocidos: - $\bar{x} = 12$ - $\mu = 10.2$ - $\sigma = 5$ - Nivel de confianza $97\% \implies 1 - \alpha = 0.97$ 1. **Calculamos $z_{\alpha/2}$:** Si $1 - \alpha = 0.97$, entonces $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$. Buscamos en la tabla de la Normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. En las tablas, el valor que corresponde a $0.9850$ es $z_{\alpha/2} = 2.17$. 2. **Planteamos la inecuación:** $$|12 - 10.2| \le 2.17 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}}$$ $$1.8 \le \frac{10.85}{\sqrt{n}}$$ 3. **Despejamos $n$:** $$\sqrt{n} \le \frac{10.85}{1.8}$$ $$\sqrt{n} \le 6.0277...$$ $$n \le (6.0277...)^2$$ $$n \le 36.33$$ Como $n$ debe ser un número entero y buscamos el tamaño **máximo** para que se cumpla la condición de contener a la media: ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 36}$$