Distribución Normal e Inferencia sobre la Media

**a) (0.5 puntos) Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el desajuste en minutos. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(0, 2.2)$$ Nos piden calcular la probabilidad de que el desajuste sea, como máximo, de un minuto. Esto significa que el desajuste puede estar entre $-1$ y $1$ minuto: $$P(|X| \le 1) = P(-1 \le X \le 1)$$ Para resolverlo, tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P\left(\frac{-1 - 0}{2.2} \le Z \le \frac{1 - 0}{2.2}\right) = P(-0.4545 \le Z \le 0.4545)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla de la normal estándar: $$P(-0.45 \le Z \le 0.45) = P(Z \le 0.45) - P(Z \le -0.45)$$ $$= P(Z \le 0.45) - (1 - P(Z \le 0.45)) = 2 \cdot P(Z \le 0.45) - 1$$ Buscamos en la tabla $N(0,1)$ el valor para $0.45$: $$P(Z \le 0.45) = 0.6736$$ Sustituimos: $$2 \cdot 0.6736 - 1 = 1.3472 - 1 = 0.3472$$ Para dar el porcentaje, multiplicamos por 100. 💡 **Tip:** El término "desajuste máximo de un minuto" implica valor absoluto $|X| \le 1$, es decir, tanto adelantos como retrasos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{34.72\%}$$

**b1) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96%, para la media poblacional. ¿Cuál es el error máximo que se comete en la estimación de esta media? Con este nivel de confianza y a partir de los datos obtenidos, ¿puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos?** Primero, calculamos la media de la muestra de $n = 15$ trenes: $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{0 + 1.3 - 2.1 - 1.5 + 2 + 0.8 + 5 + 2.1 - 3 + 1.8 + 3.1 + 4 - 0.7 + 1.6 - 5.4}{15}$$ $$\bar{x} = \frac{9}{15} = 0.6$$ La media muestral es $\bar{x} = 0.6$ minutos.

Para un nivel de confianza del $96\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$. Consultando la tabla de la normal estándar, el valor más cercano a $0.98$ es $2.05$ (o $2.055$ si interpolamos). Utilizaremos **$z_{\alpha/2} = 2.05$**. El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ se calcula como: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el margen de error $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.05 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{15}} = 2.05 \cdot 0.568 = 1.1645$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: $$I.C. = (0.6 - 1.1645, \, 0.6 + 1.1645) = (-0.5645, \, 1.7645)$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en cada extremo de la distribución normal. ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (-0.5645, \, 1.7645)}$$

A partir de los cálculos anteriores: 1. El **error máximo** cometido es el valor de $E$ calculado: $$\boxed{E = 1.1645 \text{ minutos}}$$ 2. Para responder si puede afirmarse que un tren tenga un retraso de **2 minutos**, comprobamos si dicho valor pertenece al intervalo de confianza calculado. Como $2 \notin (-0.5645, \, 1.7645)$, podemos concluir que, con un nivel de confianza del $96\%$, **no se puede afirmar** que la media de los desajustes sea de 2 minutos, ya que el valor está fuera del rango estimado. 💡 **Tip:** Si un valor está fuera del intervalo de confianza, rechazamos la hipótesis de que la media poblacional sea igual a ese valor con ese nivel de confianza determinado.

**b2) (0.75 puntos) Con un nivel de confianza del 98%, ¿cuántos trenes de alta velocidad deberían elegirse, como mínimo, para que la diferencia entre la media poblacional y su estimación muestral sea como máximo de 1.1 minutos?** La diferencia entre la media poblacional y la muestral es el error $E$. Se nos pide que $E \le 1.1$. Para un nivel de confianza del $98\%$: $$1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99 \implies z_{\alpha/2} = 2.33$$ Usamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 1.1$$ $$2.33 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{n}} \le 1.1$$ $$\frac{5.126}{\sqrt{n}} \le 1.1 \implies \sqrt{n} \ge \frac{5.126}{1.1} \implies \sqrt{n} \ge 4.66$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n \ge (4.66)^2 = 21.7156$$ Como $n$ debe ser un número entero de trenes, redondeamos siempre al alza. 💡 **Tip:** En el cálculo del tamaño muestral, siempre se redondea al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al valor dado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 22 \text{ trenes}}$$