Sistemas de ecuaciones y ecuaciones matriciales

**a) (1.75 puntos) Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de 2960W. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de 2990W. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de 2870W. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.** Primero, definimos las variables que representan la potencia de cada modelo: - $x$: Potencia de una placa del modelo A. - $y$: Potencia de una placa del modelo B. - $z$: Potencia de una placa del modelo C. A partir del enunciado, planteamos las tres ecuaciones: $$\begin{cases} 2x + y + 3z = 2960 \\ x + 3y + 2z = 2990 \\ 3x + 2y + z = 2870 \end{cases}$$ Expresamos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2960 \\ 2990 \\ 2870 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En la forma matricial $A \cdot X = B$, $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ la de incógnitas y $B$ la de términos independientes.

Para saber si se puede obtener la potencia individual de cada placa, debemos estudiar si el sistema tiene solución única (es un **Sistema Compatible Determinado**). Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (2 \cdot 3 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 3) + (3 \cdot 1 \cdot 2) - (3 \cdot 3 \cdot 3) - (2 \cdot 2 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 6 + 6 + 6 - (27 + 8 + 1) = 18 - 36 = -18$$ Como $|A| = -18 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es $3$ ($rg(A) = 3$). Al ser un sistema de 3 incógnitas, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también es 3. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $rg(A) = rg(A^*) = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que existe una única solución para la potencia de cada placa. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre tendrá una solución única.

Calculamos cada incógnita usando determinantes: Para $x$ (modelo A): $$|A_x| = \begin{vmatrix} 2960 & 1 & 3 \\ 2990 & 3 & 2 \\ 2870 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -8100 \implies x = \frac{-8100}{-18} = 450 \text{ W}$$ Para $y$ (modelo B): $$|A_y| = \begin{vmatrix} 2 & 2960 & 3 \\ 1 & 2990 & 2 \\ 3 & 2870 & 1 \end{vmatrix} = -9000 \implies y = \frac{-9000}{-18} = 500 \text{ W}$$ Para $z$ (modelo C): $$|A_z| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2960 \\ 1 & 3 & 2990 \\ 3 & 2 & 2870 \end{vmatrix} = -9360 \implies z = \frac{-9360}{-18} = 520 \text{ W}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Modelo A: } 450\text{W}, \text{ Modelo B: } 500\text{W}, \text{ Modelo C: } 520\text{W}}$$

**b) (0.75 puntos) Resuelva la ecuación matricial $2X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$** Primero calculamos el cuadrado de la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$: $$M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1\cdot 1 + 2\cdot 0) & (1\cdot 2 + 2\cdot(-1)) \\ (0\cdot 1 + (-1)\cdot 0) & (0\cdot 2 + (-1)\cdot(-1)) \end{pmatrix}$$ $$M^2 = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 2 - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ 💡 **Tip:** Observa que $M^2$ es la matriz identidad. Esto simplifica mucho el cálculo. Ahora multiplicamos por el vector columna: $$2X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, despejamos la matriz $X$ dividiendo por 2: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}}$$